Номер 1, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 1, страница 156.

Условие.

1. Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если a ↑↓ b, b ↑↓ c, то a ↑↓ c; е) существуют векторы a, b и c такие, что a и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, a и b коллинеарны?

Решение 2.

Решение 6.

а) По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Противоположно направленные векторы ($\uparrow\downarrow$) по определению являются коллинеарными, но направлены в разные стороны. Таким образом, из того, что векторы противоположно направлены, следует, что они коллинеарны. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.

б) Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть как сонаправленными ($\uparrow\uparrow$), так и противоположно направленными ($\uparrow\downarrow$). Например, векторы $\vec{a}$ и $-2\vec{a}$ коллинеарны, но противоположно направлены. Следовательно, утверждение, что любые два коллинеарных вектора сонаправлены, неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

в) По определению, два вектора равны, если они сонаправлены и их длины (модули) равны. Так как для равенства векторов требуется их сонаправленность, а любые сонаправленные векторы по определению коллинеарны, то любые два равных вектора коллинеарны. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.

г) Сонаправленные векторы ($\uparrow\uparrow$) — это векторы, которые коллинеарны и имеют одинаковое направление. Однако их длины могут быть различными. Например, векторы $\vec{a}$ и $3\vec{a}$ сонаправлены, но не равны, если $|\vec{a}| \neq 0$, так как их длины отличаются в 3 раза. Для равенства векторов необходимо также и равенство их длин. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

д) Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это значит, что $\vec{a} = k_1\vec{b}$, где $k_1 < 0$. Аналогично, из $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{c}$ следует, что $\vec{b} = k_2\vec{c}$, где $k_2 < 0$. Подставим второе выражение в первое: $\vec{a} = k_1(k_2\vec{c}) = (k_1 k_2)\vec{c}$. Так как $k_1 < 0$ и $k_2 < 0$, их произведение $k_1 k_2 > 0$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}$), а не противоположно направлены. Утверждение неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

е) Да, такие векторы существуют. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой (или на параллельных). Например, $\vec{a} = (1, 2)$ и $\vec{b} = 2\vec{a} = (2, 4)$. Теперь выберем вектор $\vec{c}$, который не коллинеарен ни $\vec{a}$, ни $\vec{b}$. Например, $\vec{c} = (1, 0)$. Вектор $\vec{c}$ не может быть выражен как $\vec{c} = k\vec{a}$ или $\vec{c} = m\vec{b}$ ни для какого числа $k$ или $m$. Таким образом, мы нашли пример векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, удовлетворяющих условию. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.