Номер 607, страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

607. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке K. Разложите по векторам a = DA, b = DB и c = DC вектор:

Поскольку $ABCD$ — правильный тетраэдр, все его грани являются правильными треугольниками, а все ребра равны. Высоты правильного тетраэдра пересекаются в одной точке $K$, которая является центром описанной и вписанной сфер, а также центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины.

Выберем точку $D$ в качестве начала векторов. Тогда по условию имеем базисные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$.

а) $\vec{DN}$

Высота $DN$ опущена из вершины $D$ на грань $ABC$. В правильном тетраэдре основание высоты совпадает с центром тяжести (центроидом) грани. Таким образом, точка $N$ является центроидом треугольника $ABC$.

Положение центроида треугольника определяется как среднее арифметическое векторов его вершин. Вектор $\vec{DN}$ — это радиус-вектор точки $N$ из начала координат $D$.

$\vec{DN} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3}$

Подставляя данные из условия, получаем:

$\vec{DN} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Ответ: $\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

б) $\vec{DK}$

Точка $K$ — это точка пересечения высот, то есть центроид тетраэдра $ABCD$. Вектор положения центроида тетраэдра равен среднему арифметическому векторов его вершин.

$\vec{DK} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC} + \vec{DD}}{4}$

Так как $\vec{DD} = \vec{0}$, получаем:

$\vec{DK} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Можно прийти к этому же результату, зная, что точка $K$ делит высоту $DN$ в отношении $DK:KN = 3:1$. Следовательно, $\vec{DK} = \frac{3}{4}\vec{DN}$. Используя результат из пункта а):

$\vec{DK} = \frac{3}{4} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

Ответ: $\vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

в) $\vec{AM}$

Высота $AM$ опущена из вершины $A$ на грань $BCD$. Точка $M$ является центроидом треугольника $BCD$.

Чтобы найти вектор $\vec{AM}$, представим его в виде разности векторов, исходящих из общего начала $D$:

$\vec{AM} = \vec{DM} - \vec{DA}$

Мы знаем, что $\vec{DA} = \vec{a}$. Найдем вектор $\vec{DM}$. Так как $M$ — центроид треугольника $BCD$:

$\vec{DM} = \frac{\vec{DB} + \vec{DC} + \vec{DD}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$

Теперь подставим найденные векторы в выражение для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{AM} = -\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

г) $\vec{MK}$

Чтобы найти вектор $\vec{MK}$, представим его как разность векторов $\vec{DK}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{MK} = \vec{DK} - \vec{DM}$

Из предыдущих пунктов нам известны разложения векторов $\vec{DK}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{DK} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{DM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$

Подставляем и упрощаем:

$\vec{MK} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\vec{b} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \left(\frac{3-4}{12}\right)\vec{b} + \left(\frac{3-4}{12}\right)\vec{c}$

$\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$

Альтернативный способ: точка $K$ делит высоту $AM$ в отношении $AK:KM = 3:1$. Это значит, что $\vec{MK} = -\vec{KM} = -\frac{1}{4}\vec{AM}$. Используя результат из пункта в):

$\vec{MK} = -\frac{1}{4}\left(-\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{12}\vec{b} - \frac{1}{12}\vec{c}$