Номер 601, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

601. Точка K — середина ребра В₁С₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор AK по векторам a = AB, b = AD, c = AA₁ и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.

Разложение вектора $\vec{AK}$

Для того чтобы разложить вектор $\vec{AK}$ по базисным векторам $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$, представим вектор $\vec{AK}$ в виде суммы векторов, идущих по ребрам куба. Один из возможных путей из точки $A$ в точку $K$ — это путь $A \rightarrow B \rightarrow B_1 \rightarrow K$.

Тогда вектор $\vec{AK}$ можно представить как сумму векторов:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1K}$

Теперь выразим каждый из этих векторов через базисные:

• $\vec{AB} = \vec{a}$ (по условию).
• Вектор $\vec{BB_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AA_1}$, так как $ABB_1A_1$ — грань куба (квадрат). Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.
• Точка $K$ — середина ребра $B_1C_1$. Значит, вектор $\vec{B_1K}$ равен половине вектора $\vec{B_1C_1}$: $\vec{B_1K} = \frac{1}{2}\vec{B_1C_1}$.
• Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AD}$, так как $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ — параллельные грани куба. Следовательно, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD} = \vec{b}$.
• Таким образом, $\vec{B_1K} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Подставим полученные выражения в сумму:
$\vec{AK} = \vec{a} + \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Запишем в стандартном порядке:
$\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

Ответ: $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

Нахождение длины вектора $\vec{AK}$

Длина вектора (его модуль) вычисляется как квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора: $|\vec{AK}| = \sqrt{\vec{AK} \cdot \vec{AK}}$.
$|\vec{AK}|^2 = \vec{AK} \cdot \vec{AK} = (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c})$

Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответствуют ребрам куба, выходящим из одной вершины, поэтому они взаимно перпендикулярны (ортогональны). Это означает, что их скалярные произведения равны нулю:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

Длины базисных векторов равны длине ребра куба $m$:
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = m$.

Раскроем скобки в выражении для скалярного квадрата:
$|\vec{AK}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot(\frac{1}{2}\vec{b}) + \vec{a}\cdot\vec{c} + (\frac{1}{2}\vec{b})\cdot\vec{a} + (\frac{1}{2}\vec{b})\cdot(\frac{1}{2}\vec{b}) + (\frac{1}{2}\vec{b})\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot(\frac{1}{2}\vec{b}) + \vec{c}\cdot\vec{c}$

Учитывая, что смешанные произведения равны нулю, получаем:
$|\vec{AK}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + (\frac{1}{2}\vec{b})\cdot(\frac{1}{2}\vec{b}) + \vec{c}\cdot\vec{c} = |\vec{a}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$

Подставим длины векторов:
$|\vec{AK}|^2 = m^2 + \frac{1}{4}m^2 + m^2 = 2m^2 + \frac{1}{4}m^2 = \frac{8m^2}{4} + \frac{m^2}{4} = \frac{9m^2}{4}$

Теперь найдем длину вектора $\vec{AK}$, извлекая квадратный корень:
$|\vec{AK}| = \sqrt{\frac{9m^2}{4}} = \frac{3m}{2}$

Ответ: $|\vec{AK}| = \frac{3m}{2}$