Номер 598, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

598. Диагонали параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и D₁O по векторам AA₁, AB и AD.

Для решения задачи введем три некомпланарных вектора, исходящих из вершины $A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в качестве базисных: $\vec{AA_1}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Требуется разложить векторы $\vec{CD}$ и $\vec{D_1O}$ по этому базису.

Разложение вектора $\vec{CD}$

Грань $ABCD$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на противоположных сторонах и имеющие одинаковое направление, равны. Отсюда следует, что $\vec{DC} = \vec{AB}$.Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{DC}$.Подставив в это равенство выражение для $\vec{DC}$, получаем:$\vec{CD} = -\vec{AB}$.Это и есть разложение вектора $\vec{CD}$ по заданному базису, так как коэффициенты при $\vec{AA_1}$ и $\vec{AD}$ равны нулю.

Ответ: $\vec{CD} = -\vec{AB}$.

Разложение вектора $\vec{D_1O}$

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке $O$ и делятся ею пополам. Таким образом, точка $O$ является серединой диагонали $BD_1$.По определению середины отрезка, вектор, проведенный из одного конца диагонали в ее середину, равен половине вектора, соответствующего всей диагонали. То есть:$\vec{D_1O} = \frac{1}{2}\vec{D_1B}$.Чтобы найти разложение вектора $\vec{D_1B}$, представим его в виде суммы векторов, идущих по ребрам параллелепипеда, используя правило многоугольника:$\vec{D_1B} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1A} + \vec{AB}$.Теперь выразим каждый из этих векторов через базисные:

• Из свойств параллелепипеда известно, что $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{D_1A_1}$ противоположен вектору $\vec{A_1D_1}$, следовательно, $\vec{D_1A_1} = -\vec{A_1D_1} = -\vec{AD}$.
• Вектор $\vec{A_1A}$ противоположен вектору $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.
• Вектор $\vec{AB}$ уже является одним из базисных векторов.

Подставляем полученные выражения в сумму:$\vec{D_1B} = (-\vec{AD}) + (-\vec{AA_1}) + \vec{AB} = \vec{AB} - \vec{AD} - \vec{AA_1}$.Наконец, находим искомый вектор $\vec{D_1O}$:$\vec{D_1O} = \frac{1}{2}\vec{D_1B} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD} - \vec{AA_1})$.Раскрывая скобки и упорядочивая слагаемые в соответствии с порядком векторов в условии, получаем:$\vec{D_1O} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{D_1O} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.