Номер 591, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

591. Докажите, что если векторы a + b и a − b и не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы:

Пусть даны векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$, которые по условию не коллинеарны. Это означает, что не существует такого числа $k$, для которого выполнялось бы равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то один из них можно выразить через другой с помощью некоторого числового коэффициента $m$, то есть $\vec{a} = m\vec{b}$. (Мы можем считать, что $\vec{b} \neq \vec{0}$, так как если $\vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = \vec{a}$, что означало бы их коллинеарность, а это противоречит условию. Аналогично, $\vec{a} \neq \vec{0}$).

Теперь выразим векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ через $\vec{b}$, используя наше предположение:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = m\vec{b} + \vec{b} = (m+1)\vec{b}$

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = m\vec{b} - \vec{b} = (m-1)\vec{b}$

Рассмотрим возможные случаи для $m$.

1. Если $m \neq 1$, то из второго равенства можно выразить $\vec{b} = \frac{1}{m-1}\vec{d}$. Подставим это выражение в первое равенство: $\vec{c} = (m+1) \left( \frac{1}{m-1}\vec{d} \right) = \frac{m+1}{m-1}\vec{d}$. Полученное равенство показывает, что вектор $\vec{c}$ можно получить умножением вектора $\vec{d}$ на число $k = \frac{m+1}{m-1}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны.

2. Если $m = 1$, то $\vec{a} = \vec{b}$. Тогда $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, значит, векторы $\vec{c} = 2\vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{0}$ коллинеарны.

В обоих случаях мы пришли к выводу, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ коллинеарны. Это противоречит исходному условию задачи. Следовательно, наше предположение о том, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.

Снова воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что векторы $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 2\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{p} = k\vec{q}$.

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k(2\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$\vec{a} + 2\vec{b} - 2k\vec{a} + k\vec{b} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$(1 - 2k)\vec{a} + (2 + k)\vec{b} = \vec{0}$

В пункте а) мы доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Известно, что линейная комбинация двух неколлинеарных векторов равна нулевому вектору только в том случае, когда коэффициенты при этих векторах равны нулю. Таким образом, должно выполняться следующее:

$1 - 2k = 0$

$2 + k = 0$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения находим $2k=1$, то есть $k = \frac{1}{2}$. Из второго уравнения находим $k = -2$.

Мы получили противоречие: число $k$ не может одновременно быть равным $\frac{1}{2}$ и $-2$. Это означает, что не существует такого числа $k$, которое бы удовлетворяло условию коллинеарности. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $2\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, что и требовалось доказать.