Номер 596, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

596. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Разложите вектор BD₁ по векторам BA, BC и BB₁. б) Разложите вектор B₁D₁ по векторам A₁A, A₁B и A₁D₁.

а) Для разложения вектора $\vec{BD_1}$ по векторам $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$ используется правило сложения векторов в пространстве. Вектор $\vec{BD_1}$ является главной диагональю параллелепипеда.

Чтобы найти вектор $\vec{BD_1}$, можно последовать по ребрам параллелепипеда от точки B до точки $D_1$. Один из возможных путей: $B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow D_1$. По правилу многоугольника (или правилу замыкающей) для сложения векторов:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются параллелограммами, поэтому соответствующие векторы ребер равны:

$\vec{AD} = \vec{BC}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм)

$\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$ (так как $BB_1D_1D$ — параллелограмм)

Подставим эти равенства в исходное выражение:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}$

Это выражение является разложением вектора $\vec{BD_1}$ по заданным векторам.

Ответ: $\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}$

б) Требуется разложить вектор $\vec{B_1D_1}$ по векторам $\vec{A_1A}$, $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Вектор $\vec{B_1D_1}$ является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Выразим его, используя правило треугольника для векторов, например, через вершину $A_1$:

$\vec{B_1D_1} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1D_1}$

Вектор $\vec{A_1D_1}$ уже является одним из векторов, по которым мы раскладываем. Теперь необходимо выразить вектор $\vec{B_1A_1}$ через заданные векторы.

Вектор $\vec{B_1A_1}$ противоположен вектору $\vec{A_1B_1}$, то есть $\vec{B_1A_1} = -\vec{A_1B_1}$.

Рассмотрим один из базисных векторов — $\vec{A_1B}$. Его можно представить как сумму векторов по пути $A_1 \rightarrow B_1 \rightarrow B$:

$\vec{A_1B} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B}$

Из этого равенства выразим нужный нам вектор $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{A_1B_1} = \vec{A_1B} - \vec{B_1B}$

По определению параллелепипеда, ребра $\vec{B_1B}$ и $\vec{A_1A}$ равны и сонаправлены, следовательно, $\vec{B_1B} = \vec{A_1A}$.

Подставим это в выражение для $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{A_1B_1} = \vec{A_1B} - \vec{A_1A}$

Тогда вектор $\vec{B_1A_1}$ равен:

$\vec{B_1A_1} = - \vec{A_1B_1} = -(\vec{A_1B} - \vec{A_1A}) = \vec{A_1A} - \vec{A_1B}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{B_1A_1}$ в исходную формулу для $\vec{B_1D_1}$:

$\vec{B_1D_1} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1D_1} = (\vec{A_1A} - \vec{A_1B}) + \vec{A_1D_1}$

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$\vec{B_1D_1} = \vec{A_1A} - \vec{A_1B} + \vec{A_1D_1}$

Ответ: $\vec{B_1D_1} = \vec{A_1A} - \vec{A_1B} + \vec{A_1D_1}$