Номер 603, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

603. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка пространства, то

Пусть дан треугольник $ABC$, $M$ — точка пересечения его медиан, а $O$ — произвольная точка пространства. Проведём медиану $AA_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$.

По свойству медиан треугольника, точка их пересечения (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что $AM : MA_1 = 2 : 1$. В векторной форме это соотношение записывается как $\vec{AM} = 2\vec{MA_1}$, поскольку векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MA_1}$ коллинеарны, сонаправлены, и длина вектора $\vec{AM}$ вдвое больше длины вектора $\vec{MA_1}$.

Выразим векторы, входящие в это равенство, через радиус-векторы с началом в точке $O$, используя правило вычитания векторов:

$\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA}$

$\vec{MA_1} = \vec{OA_1} - \vec{OM}$

Теперь подставим эти выражения в исходное векторное равенство $\vec{AM} = 2\vec{MA_1}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = 2(\vec{OA_1} - \vec{OM})$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить вектор $\vec{OM}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = 2\vec{OA_1} - 2\vec{OM}$

$\vec{OM} + 2\vec{OM} = \vec{OA} + 2\vec{OA_1}$

$3\vec{OM} = \vec{OA} + 2\vec{OA_1}$

Отсюда получаем формулу для радиус-вектора точки $M$, делящей отрезок $AA_1$ в отношении 2:1:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OA_1}}{3}$

Далее, как и указано в условии, объясним, почему $\vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$. Точка $A_1$ является серединой отрезка $BC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Докажем это. По правилу треугольника для сложения векторов, выходящих из точки $O$, имеем: $\vec{OA_1} = \vec{OB} + \vec{BA_1}$. Поскольку $A_1$ — середина $BC$, вектор $\vec{BA_1}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$, то есть $\vec{BA_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. В свою очередь, вектор $\vec{BC}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$.

Объединяя эти выражения, получаем:

$\vec{OA_1} = \vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{OB} + \frac{1}{2}(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$.

Наконец, подставим найденное выражение для $\vec{OA_1}$ в формулу для $\vec{OM}$:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + 2 \cdot (\frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}))}{3}$

Сокращая двойки, получаем:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + (\vec{OB} + \vec{OC})}{3} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$ доказано.