Номер 604, страница 155 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

604. В тетраэдре ABCD медиана АА₁ грани ABC делится точкой K так, что АK : KA₁ = 3 : 7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

Для решения задачи выберем точку D в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ будут радиус-векторами точек A, B и C соответственно. Нам необходимо разложить вектор $\vec{DK}$ по этим трем базисным векторам.

Для нахождения вектора $\vec{DK}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Пройдем из точки D в точку K через точку A:

$\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK}$

Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AK}$ через базисные векторы. По условию, точка K делит медиану $AA_1$ в отношении $AK:KA_1 = 3:7$. Это означает, что длина отрезка AK составляет $\frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ от длины всей медианы $AA_1$. Так как векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлены, можем записать:

$\vec{AK} = \frac{3}{10}\vec{AA_1}$

Далее выразим вектор $\vec{AA_1}$ через векторы с началом в точке D:

$\vec{AA_1} = \vec{DA_1} - \vec{DA}$

Поскольку $AA_1$ является медианой грани ABC, точка $A_1$ — это середина отрезка BC. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, для вектора $\vec{DA_1}$ справедливо равенство:

$\vec{DA_1} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC})$

Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) - \vec{DA}$

Подставим полученное выражение для $\vec{AA_1}$ в формулу для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{3}{10}\vec{AA_1} = \frac{3}{10} \left( -\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{DC} \right) = -\frac{3}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

Наконец, подставим найденный вектор $\vec{AK}$ в исходную формулу для $\vec{DK}$:

$\vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DA} + \left( -\frac{3}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC} \right)$

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых базисных векторах:

$\vec{DK} = \left(1 - \frac{3}{10}\right)\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

$\vec{DK} = \frac{7}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$

Это и есть искомое разложение вектора $\vec{DK}$ по векторам $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{DK} = \frac{7}{10}\vec{DA} + \frac{3}{20}\vec{DB} + \frac{3}{20}\vec{DC}$