Номер 602, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

602. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка М — середина AB, а точка K — середина MD. Разложите векторы OM и OK по векторам a = OA, b = OB, c = OC.

Разложение вектора $\vec{OM}$
Согласно условию задачи, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Для нахождения вектора $\vec{OM}$, исходящего из произвольной точки $O$ в середину отрезка $AB$, используется формула медианы треугольника $OAB$. Вектор, проведенный в середину стороны, равен полусумме векторов, проведенных в ее концы:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
В условии даны обозначения: $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Подставим их в полученное выражение:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$
Ответ: $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Разложение вектора $\vec{OK}$
По условию, точка $K$ является серединой отрезка $MD$. Аналогично предыдущему пункту, вектор $\vec{OK}$ можно выразить как полусумму векторов, проведенных из точки $O$ в концы отрезка $MD$:
$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{OD})$
Выражение для вектора $\vec{OM}$ уже найдено: $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
Теперь необходимо найти выражение для вектора $\vec{OD}$ через заданные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Фигура $ABCD$ является параллелограммом, поэтому для нее справедливо векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их начальных и конечных точек, исходящие из точки $O$:
$\vec{OD} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OB}$
Из этого равенства выразим искомый вектор $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OC}$
Подставим заданные обозначения $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$:
$\vec{OD} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
Теперь мы можем подставить найденные выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{OD}$ в формулу для $\vec{OK}$:
$\vec{OK} = \frac{1}{2}\left( \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) + (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \right)$
Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах внутри скобок:
$\vec{OK} = \frac{1}{2}\left( \left(\frac{1}{2} + 1\right)\vec{a} + \left(\frac{1}{2} - 1\right)\vec{b} + \vec{c} \right)$
$\vec{OK} = \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c} \right)$
Наконец, раскроем скобки, умножив каждый член на $\frac{1}{2}$:
$\vec{OK} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$
Ответ: $\vec{OK} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$