Номер 595, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

595. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов в пространстве, в частности, правилом параллелограмма и правилом параллелепипеда, а также свойством равенства векторов в параллелепипеде (векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны).

а) Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
Все три вектора, $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, выходят из одной вершины A и направлены вдоль ребер параллелепипеда. По правилу параллелепипеда, сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору, совпадающему с диагональю параллелепипеда, проведенной из той же точки. В данном случае, это главная диагональ параллелепипеда, начинающаяся в точке A и заканчивающаяся в противоположной вершине $C_1$.
Таким образом: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$.
Ответ: $\vec{AC_1}$.

б) Сумма векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1}$.
Аналогично предыдущему пункту, все три вектора, $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$, выходят из одной вершины D и направлены вдоль ребер параллелепипеда. Применяя правило параллелепипеда, получаем вектор, равный главной диагонали, исходящей из вершины D. Противоположной вершиной для D является $B_1$.
Таким образом: $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1} = \vec{DB_1}$.
Ответ: $\vec{DB_1}$.

в) Сумма векторов $\vec{A_1B_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{BB_1}$.
Векторы в этой сумме имеют разные начальные точки. Чтобы их сложить, приведем их к общему началу, используя равенство векторов в параллелепипеде. Выберем в качестве общего начала вершину D.
1. Вектор $\vec{A_1B_1}$ равен вектору $\vec{DC}$, так как грани $A_1B_1BA$ и $DCC_1D_1$ параллельны и равны: $\vec{A_1B_1} = \vec{DC}$.
2. Вектор $\vec{C_1B_1}$ равен вектору $\vec{D_1A_1}$ (из параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$), а вектор $\vec{D_1A_1}$ в свою очередь равен вектору $\vec{DA}$ (из параллелограмма $ADD_1A_1$). Следовательно, $\vec{C_1B_1} = \vec{DA}$.
3. Вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{DD_1}$, так как они являются параллельными боковыми ребрами: $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$.
Подставим полученные равенства в исходную сумму: $\vec{A_1B_1} + \vec{C_1B_1} + \vec{BB_1} = \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{DD_1}$.
Эта сумма идентична сумме из пункта б), поэтому результат равен $\vec{DB_1}$.
Ответ: $\vec{DB_1}$.

г) Сумма векторов $\vec{A_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{AB}$.
Приведем векторы к общему началу в вершине $A_1$.
1. Векторы $\vec{A_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$ уже исходят из точки $A_1$.
2. Заменим вектор $\vec{AB}$ равным ему вектором $\vec{A_1B_1}$: $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.
Получаем сумму векторов, исходящих из одной точки $A_1$: $\vec{A_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{A_1B_1}$.
По правилу параллелепипеда, эта сумма равна главной диагонали, исходящей из вершины $A_1$. Противоположная вершина для $A_1$ — это C.
Таким образом: $\vec{A_1A} + \vec{A_1D_1} + \vec{A_1B_1} = \vec{A_1C}$.
Ответ: $\vec{A_1C}$.

д) Сумма векторов $\vec{B_1A_1} + \vec{BB_1} + \vec{BC}$.
Приведем все векторы к общему началу в вершине B.
1. Вектор $\vec{BC}$ уже исходит из точки B.
2. Вектор $\vec{BB_1}$ также исходит из точки B.
3. Заменим вектор $\vec{B_1A_1}$ равным ему вектором $\vec{BA}$: $\vec{B_1A_1} = \vec{BA}$.
Получаем сумму трех векторов, исходящих из вершины B: $\vec{BA} + \vec{BB_1} + \vec{BC}$.
По правилу параллелепипеда, их сумма равна главной диагонали, проведенной из вершины B. Противоположная вершина для B — это $D_1$.
Таким образом: $\vec{BA} + \vec{BB_1} + \vec{BC} = \vec{BD_1}$.
Ответ: $\vec{BD_1}$.