Номер 597, страница 154 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

597. В вершинах А₁, В и D куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряжённость создаваемого ими электрического поля в точках A и С₁ через вектор AC₁. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости в точках С, В₁, в центре грани A₁B₁C₁D₁ и в центре куба.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину A куба в начало координат (0,0,0). Оси направим вдоль ребер: Ox вдоль AB, Oy вдоль AD, Oz вдоль AA?. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты (при длине ребра $a$):
A(0, 0, 0), B($a$, 0, 0), C($a$, $a$, 0), D(0, $a$, 0)
A? (0, 0, $a$), B?($a$, 0, $a$), C?($a$, $a$, $a$), D?(0, $a$, $a$).

Точечные заряды $q$ расположены в вершинах A?(0, 0, $a$), B($a$, 0, 0) и D(0, $a$, 0).

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в точке, определяемой радиус-вектором $\vec{r}$ относительно заряда, вычисляется по формуле:$\vec{E} = k \frac{q}{r^3} \vec{r}$, где $r = |\vec{r}|$ и $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.Результирующая напряженность находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей от всех зарядов: $\vec{E}_{рез} = \sum \vec{E}_i$.

а)

1. Напряженность в точке A(0, 0, 0).
Найдем векторы, направленные от зарядов к точке A, и их модули:
От заряда в A?: $\vec{r}_{A_1A} = A - A_1 = (0, 0, -a)$, $r_{A_1A} = a$.
От заряда в B: $\vec{r}_{BA} = A - B = (-a, 0, 0)$, $r_{BA} = a$.
От заряда в D: $\vec{r}_{DA} = A - D = (0, -a, 0)$, $r_{DA} = a$.

Векторы напряженности от каждого заряда в точке A:
$\vec{E}_{A_1} = k \frac{q}{a^3}(0, 0, -a) = -k\frac{q}{a^2}\hat{k}$
$\vec{E}_{B} = k \frac{q}{a^3}(-a, 0, 0) = -k\frac{q}{a^2}\hat{i}$
$\vec{E}_{D} = k \frac{q}{a^3}(0, -a, 0) = -k\frac{q}{a^2}\hat{j}$

Результирующая напряженность в точке A:
$\vec{E}_A = \vec{E}_{A_1} + \vec{E}_B + \vec{E}_D = -k\frac{q}{a^2}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

Вектор $\vec{AC_1}$ имеет координаты $C_1 - A = (a, a, a) = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
Отсюда $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{a}\vec{AC_1}$.
Подставляя, получаем: $\vec{E}_A = -k\frac{q}{a^2} \left(\frac{1}{a}\vec{AC_1}\right) = -k\frac{q}{a^3}\vec{AC_1}$.

2. Напряженность в точке C?($a$, $a$, $a$).
Найдем векторы, направленные от зарядов к точке C?, и их модули:
От заряда в A?: $\vec{r}_{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (a, a, 0)$, $r_{A_1C_1} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
От заряда в B: $\vec{r}_{BC_1} = C_1 - B = (0, a, a)$, $r_{BC_1} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
От заряда в D: $\vec{r}_{DC_1} = C_1 - D = (a, 0, a)$, $r_{DC_1} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Результирующая напряженность в точке C?:
$\vec{E}_{C_1} = k\frac{q}{(a\sqrt{2})^3}(a, a, 0) + k\frac{q}{(a\sqrt{2})^3}(0, a, a) + k\frac{q}{(a\sqrt{2})^3}(a, 0, a)$
$\vec{E}_{C_1} = \frac{kq}{2\sqrt{2}a^3} \left( (a,a,0) + (0,a,a) + (a,0,a) \right) = \frac{kq}{2\sqrt{2}a^3}(2a, 2a, 2a) = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

Используя выражение для $\vec{AC_1}$:
$\vec{E}_{C_1} = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2} \left(\frac{1}{a}\vec{AC_1}\right) = k\frac{q}{\sqrt{2}a^3}\vec{AC_1}$.

Ответ: Напряженность в точке A: $\vec{E}_A = -k\frac{q}{a^3}\vec{AC_1}$. Напряженность в точке C?: $\vec{E}_{C_1} = k\frac{q}{\sqrt{2}a^3}\vec{AC_1}$.

б)

1. Абсолютная величина напряженности в точке C($a$, $a$, 0).
Векторы от зарядов к точке C:
$\vec{r}_{A_1C} = C - A_1 = (a, a, -a)$, $r_{A_1C} = a\sqrt{3}$.
$\vec{r}_{BC} = C - B = (0, a, 0)$, $r_{BC} = a$.
$\vec{r}_{DC} = C - D = (a, 0, 0)$, $r_{DC} = a$.

Результирующий вектор напряженности:
$\vec{E}_C = k\frac{q}{(a\sqrt{3})^3}(a, a, -a) + k\frac{q}{a^3}(0, a, 0) + k\frac{q}{a^3}(a, 0, 0)$
$\vec{E}_C = k\frac{q}{a^2} \left[ \frac{1}{3\sqrt{3}}(1, 1, -1) + (0, 1, 0) + (1, 0, 0) \right] = k\frac{q}{a^2}\left(1+\frac{1}{3\sqrt{3}}, 1+\frac{1}{3\sqrt{3}}, -\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)$.
Абсолютная величина: $E_C = |\vec{E}_C| = k\frac{q}{a^2} \sqrt{\left(1+\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)^2 + \left(1+\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)^2}$
$E_C = k\frac{q}{a^2} \sqrt{2\left(1+\frac{2}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{27}\right) + \frac{1}{27}} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{2+\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{3}{27}} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{\frac{18+4\sqrt{3}+1}{9}} = \frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt{3}}$.
Ответ: $E_C = \frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt{3}}$.

2. Абсолютная величина напряженности в точке B?($a$, 0, $a$).
Положения зарядов (A?, B, D) и точки наблюдения (B?) симметричны относительно плоскости, проходящей через диагональ AC и перпендикулярной основанию ABCD, положению зарядов (A?, B, D) и точке наблюдения (C). Расстояния от зарядов до точки B? такие же, как и до точки C. Поэтому величина напряженности в точке B? будет такой же, как и в точке C.
Ответ: $E_{B_1} = \frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt{3}}$.

3. Абсолютная величина напряженности в центре грани A?B?C?D?.
Координаты центра грани M?: ($\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a$).
Векторы от зарядов к M?:
$\vec{r}_{A_1M_1} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$, $r_{A_1M_1} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$\vec{r}_{BM_1} = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$, $r_{BM_1} = \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+a^2} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$\vec{r}_{DM_1} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, a)$, $r_{DM_1} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Результирующий вектор напряженности:
$\vec{E}_{M_1} = k\frac{q}{(a/\sqrt{2})^3}(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) + k\frac{q}{(a\sqrt{3/2})^3}(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a) + k\frac{q}{(a\sqrt{3/2})^3}(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, a)$
$\vec{E}_{M_1} = k\frac{q\sqrt{2}}{a^2}(1, 1, 0) + k\frac{2\sqrt{2}q}{3\sqrt{3}a^2}\left[ (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) + (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1) \right]$
$\vec{E}_{M_1} = k\frac{\sqrt{2}q}{a^2}(1, 1, 0) + k\frac{2\sqrt{2}q}{3\sqrt{3}a^2}(0, 0, 2) = k\frac{q}{a^2} \left( \sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right)$.
Абсолютная величина: $E_{M_1} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\right)^2} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{2+2+\frac{32}{27}} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{4+\frac{32}{27}}$
$E_{M_1} = k\frac{q}{a^2} \sqrt{\frac{108+32}{27}} = k\frac{q}{a^2}\sqrt{\frac{140}{27}} = k\frac{2q}{a^2}\sqrt{\frac{35}{27}} = \frac{2kq\sqrt{105}}{9a^2}$.
Ответ: $E_{M_1} = \frac{2kq\sqrt{105}}{9a^2}$.

4. Абсолютная величина напряженности в центре куба.
Координаты центра куба O: ($\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}$).
Расстояние от центра до любой вершины одинаково: $r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Векторы от зарядов к центру O:
$\vec{r}_{A_1O} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$.
$\vec{r}_{BO} = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.
$\vec{r}_{DO} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

Результирующий вектор напряженности:
$\vec{E}_O = \frac{kq}{r^3} (\vec{r}_{A_1O} + \vec{r}_{BO} + \vec{r}_{DO}) = \frac{kq}{(a\sqrt{3}/2)^3} \left[ (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}) + (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) + (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \right]$
$\vec{E}_O = \frac{8kq}{3\sqrt{3}a^3} (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) = \frac{4kq}{3\sqrt{3}a^2}(1, 1, 1)$.
Абсолютная величина: $E_O = |\vec{E}_O| = \frac{4kq}{3\sqrt{3}a^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \frac{4kq}{3\sqrt{3}a^2}\sqrt{3} = \frac{4kq}{3a^2}$.
Ответ: $E_O = \frac{4kq}{3a^2}$.