Номер 594, страница 153 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

594. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Докажите, что векторы BB₁, CC₁ и DD₁ компланарны.

Для доказательства компланарности трех векторов достаточно показать, что один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Воспользуемся векторным методом.

Введем обозначения векторов, выходящих из общей вершины A:

$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$

$\vec{a_1} = \vec{AB_1}$, $\vec{d_1} = \vec{AD_1}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, по правилу параллелограмма для векторов имеем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{d}$

Аналогично, так как $AB_1C_1D_1$ — параллелограмм:

$\vec{AC_1} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1} = \vec{a_1} + \vec{d_1}$

Теперь выразим векторы $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ через введенные нами векторы, используя правило разности векторов (правило треугольника):

$\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \vec{a_1} - \vec{a}$

$\vec{DD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AD} = \vec{d_1} - \vec{d}$

$\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC} = (\vec{a_1} + \vec{d_1}) - (\vec{a} + \vec{d})$

Раскроем скобки в выражении для $\vec{CC_1}$ и перегруппируем слагаемые:

$\vec{CC_1} = \vec{a_1} + \vec{d_1} - \vec{a} - \vec{d} = (\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{d_1} - \vec{d})$

Подставим в это равенство полученные ранее выражения для $\vec{BB_1}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$

Мы получили, что вектор $\vec{CC_1}$ является суммой векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{DD_1}$, то есть он выражается через них в виде линейной комбинации с коэффициентами, равными 1. Согласно определению компланарности, если один из трех векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других, то эти три вектора компланарны (лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях).

Таким образом, векторы $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что векторы компланарны, так как выполняется векторное равенство $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$.