Номер 589, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

589. Векторы a + b и a − b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.

Доказательство

Пусть даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По условию задачи, векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ являются коллинеарными. Нам нужно доказать, что из этого следует коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По определению, два вектора коллинеарны, если существует такое число (скаляр) $k$, что один вектор равен другому, умноженному на этот скаляр. Таким образом, из условия коллинеарности векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ следует, что существует такое число $k$, что:

$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ является нулевым вектором.

Если $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$, то это означает, что $\vec{a} = \vec{b}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, а следовательно, коллинеарны. Условие задачи при этом выполняется, так как любой вектор (в данном случае $\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$) коллинеарен нулевому вектору.

Случай 2: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ не является нулевым вектором.

В этом случае мы можем работать с равенством $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Раскроем скобки и преобразуем выражение, чтобы выразить один вектор через другой.

$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} - \vec{a}$

$(1 + k)\vec{b} = (k - 1)\vec{a}$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от значения $k$.

Подслучай 2а: $k = 1$.

Если $k = 1$, наше первоначальное равенство $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$ превращается в $\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} - \vec{b}$.

Вычитая из обеих частей $\vec{a}$, получаем $\vec{b} = -\vec{b}$, что равносильно $2\vec{b} = \vec{0}$.

Отсюда следует, что $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору $\vec{a}$, поэтому в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Подслучай 2б: $k \neq 1$.

Если $k \neq 1$, то множитель $(k - 1)$ не равен нулю. Значит, мы можем разделить обе части равенства $(1 + k)\vec{b} = (k - 1)\vec{a}$ на $(k - 1)$:

$\vec{a} = \frac{1+k}{k-1}\vec{b}$

Обозначим скаляр $m = \frac{1+k}{k-1}$. Тогда мы получаем равенство $\vec{a} = m\vec{b}$.

Это равенство по определению означает, что вектор $\vec{a}$ можно получить умножением вектора $\vec{b}$ на число $m$. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них было показано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.