Номер 593, страница 153 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

593. Точки E и F — середины рёбер АС и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DC?

Докажите, что $2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$

Для доказательства введём радиус-векторы вершин тетраэдра $A, B, C, D$ относительно некоторого произвольного начала координат $O$. Обозначим их соответственно как $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$.

По условию, точка $E$ является серединой ребра $AC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, радиус-вектор точки $E$ равен:
$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, точка $F$ является серединой ребра $BD$. Её радиус-вектор равен:
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Теперь выразим вектор $\vec{FE}$ через радиус-векторы его начала (точки $F$) и конца (точки $E$):
$\vec{FE} = \vec{OE} - \vec{OF}$
Подставим выражения для $\vec{OE}$ и $\vec{OF}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) - \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} - \vec{OD})$

Умножим обе части равенства на 2:
$2\vec{FE} = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB} - \vec{OD}$
Сгруппируем слагаемые:
$2\vec{FE} = (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OD})$

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\vec{BA} + \vec{DC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их концов и начал:
$\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$
$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD}$
Следовательно, их сумма равна:
$\vec{BA} + \vec{DC} = (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OD})$

Сравнивая выражения для $2\vec{FE}$ и $\vec{BA} + \vec{DC}$, мы видим, что они идентичны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$ доказано, что и требовалось.

Компланарны ли векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$?

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости. Алгебраически это означает, что один из векторов можно выразить в виде линейной комбинации двух других. То есть, для векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ должны существовать такие числа $k$ и $m$, что $\vec{c} = k\vec{a} + m\vec{b}$.

В предыдущем пункте мы доказали равенство:
$2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}$

Разделим обе части этого равенства на 2, чтобы выразить вектор $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DC})$
$\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{DC}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{FE}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ с коэффициентами $k = \frac{1}{2}$ и $m = \frac{1}{2}$.
Согласно определению, это означает, что векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$ являются компланарными.

Ответ: Да, векторы $\vec{FE}, \vec{BA}$ и $\vec{DC}$ компланарны.