номер 586 (страница 150) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

586. Три точки А, В и М удовлетворяют условию AM = λ ⋅ MB, где λ ≠ − 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство OM = OA + λ ⋅ OB1 + λ.

Решение

Из равенства AM = λ ⋅ MB следует, что векторы AM и MB коллинеарны, поэтому прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то они совпадают , и, следовательно, точки А, B и М лежат на одной прямой. Поскольку AM = OM − OA, MB = OB − OM, то из равенства AM = λ ⋅ MB имеем OM − OA = λ (OB − OM), или (1 + λ) OM = OA + λ ⋅ OB. Отсюда, разделив на 1 + λ, получаем искомое равенство.