Номер 586, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

586. Три точки А, В и М удовлетворяют условию AM = λ ⋅ MB, где λ ≠ − 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство OM = OA + λ ⋅ OB1 + λ.

Решение

Из равенства AM = λ ⋅ MB следует, что векторы AM и MB коллинеарны, поэтому прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то они совпадают , и, следовательно, точки А, B и М лежат на одной прямой. Поскольку AM = OM − OA, MB = OB − OM, то из равенства AM = λ ⋅ MB имеем OM − OA = λ (OB − OM), или (1 + λ) OM = OA + λ ⋅ OB. Отсюда, разделив на 1 + λ, получаем искомое равенство.

Доказательство того, что точки А, В и М лежат на одной прямой

По условию задачи дано векторное равенство $\vec{AM} = \lambda \cdot \vec{MB}$. Из определения коллинеарности векторов следует, что если один вектор можно представить как другой, умноженный на скаляр (число), то эти векторы коллинеарны. В нашем случае это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны.

Коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Вектор $\vec{AM}$ определяется точками A и M и, следовательно, лежит на прямой AM. Вектор $\vec{MB}$ определяется точками M и B и лежит на прямой MB. Поскольку векторы коллинеарны, прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Однако у этих прямых есть общая точка M. Две различные параллельные прямые не могут иметь общих точек. Следовательно, прямые AM и MB должны совпадать. Это означает, что все три точки A, B и M лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Точки A, B и M лежат на одной прямой.

Доказательство равенства $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$

Возьмем произвольную точку O в пространстве в качестве начала отсчета. Тогда любой вектор, например $\vec{XY}$, можно выразить через радиус-векторы его конца и начала: $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Применим это правило к векторам $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$:

$\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA}$

$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$

Теперь подставим эти выражения в исходное условие $\vec{AM} = \lambda \cdot \vec{MB}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = \lambda (\vec{OB} - \vec{OM})$

Раскроем скобки в правой части уравнения, чтобы выделить вектор $\vec{OM}$:

$\vec{OM} - \vec{OA} = \lambda \cdot \vec{OB} - \lambda \cdot \vec{OM}$

Перенесем все члены, содержащие $\vec{OM}$, в левую часть равенства, а все остальные — в правую:

$\vec{OM} + \lambda \cdot \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}$

Вынесем общий множитель $\vec{OM}$ за скобки в левой части:

$(1 + \lambda)\vec{OM} = \vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}$

Согласно условию задачи, $\lambda \neq -1$, что означает $1 + \lambda \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на ненулевой скаляр $(1 + \lambda)$:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$

Это и есть искомое равенство.

Ответ: Для любой точки O пространства выполняется равенство $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \lambda \cdot \vec{OB}}{1 + \lambda}$.