Номер 585, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

585. Докажите, что в параллелепипеде

Для доказательства данного векторного равенства введём три неколлинеарных вектора, соответствующие рёбрам параллелепипеда, выходящим из одной вершины, например, из вершины A: $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AA_1}$.

Выразим векторы из доказываемого равенства через этот базис. Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является главной диагональю параллелепипеда. По правилу параллелепипеда для сложения векторов он равен сумме трёх базисных векторов: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Далее выразим вектор $\overrightarrow{B_1D}$. Сделаем это, используя правило разности векторов, представив их как векторы, отложенные от общего начала A: $\overrightarrow{B_1D} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB_1}$. Вектор $\overrightarrow{AD}$ по определению равен $\vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{AB_1}$ является диагональю грани $AA_1B_1B$, и по правилу параллелограмма: $\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$. Подставив эти выражения, получим: $\overrightarrow{B_1D} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{c}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Теперь найдём сумму векторов в левой части исходного равенства: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми базисными векторами: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = (\vec{a} - \vec{a}) + (\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{c}) = 2\vec{b}$.

Наконец, выразим правую часть равенства, $2\overrightarrow{BC}$, через наш базис. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны, значит $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. По нашему определению, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$, следовательно, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Таким образом, $2\overrightarrow{BC} = 2\vec{b}$.

Мы получили, что левая часть равенства $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D}$ равна $2\vec{b}$, и правая часть $2\overrightarrow{BC}$ также равна $2\vec{b}$. Следовательно, равенство $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = 2\overrightarrow{BC}$ верно. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = 2\overrightarrow{BC}$ доказано.