Номер 592, страница 153 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

592. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Какие из следующих трёх векторов компланарны:

Для определения компланарности трёх векторов необходимо проверить, можно ли их расположить в одной плоскости. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы, то есть один из них можно выразить через два других, или если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. В контексте параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ мы будем использовать его свойства: равенство и параллельность противоположных рёбер.

Рассмотрим векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{BB_1}$.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, лежащие на этих рёбрах, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
Поскольку все три вектора равны, они коллинеарны (параллельны одной прямой). Любые коллинеарные векторы всегда компланарны, так как если отложить их от одной точки, они лягут на одну прямую, а через любую прямую можно провести плоскость.
Ответ: векторы компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.
Эти три вектора исходят из одной вершины A и направлены вдоль трёх рёбер параллелепипеда. В общем случае (для невырожденного параллелепипеда) эти три ребра не лежат в одной плоскости. Векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ являются базисными для трёхмерного пространства. Три вектора, образующие базис, по определению не могут быть компланарными (они линейно независимы).
Ответ: векторы не компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{B_1B}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DD_1}$.
Выразим эти векторы через базисные векторы, исходящие из вершины A. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
1. Вектор $\vec{B_1B}$ противоположен вектору $\vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, то $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{c}$.
2. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания и по правилу параллелограмма равен сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
3. Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как это параллельные рёбра: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.
Проверим векторы на линейную зависимость. Векторы компланарны, если существуют такие числа $k_1, k_2, k_3$, не все равные нулю, что $k_1\vec{B_1B} + k_2\vec{AC} + k_3\vec{DD_1} = \vec{0}$.
Заметим, что $\vec{B_1B} + \vec{DD_1} = -\vec{c} + \vec{c} = \vec{0}$.
Следовательно, мы можем взять $k_1 = 1$, $k_2 = 0$ и $k_3 = 1$. Эта комбинация $1 \cdot \vec{B_1B} + 0 \cdot \vec{AC} + 1 \cdot \vec{DD_1} = \vec{0}$ является нетривиальной (не все коэффициенты равны нулю). Значит, векторы линейно зависимы и, следовательно, компланарны.
Ответ: векторы компланарны.

Рассмотрим векторы $\vec{AD}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{A_1B_1}$.
Приведём эти векторы к общему началу A, используя свойства параллелепипеда:
1. Вектор $\vec{AD}$ уже исходит из точки A.
2. Вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору бокового ребра $\vec{AA_1}$: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.
3. Вектор $\vec{A_1B_1}$ равен вектору ребра основания $\vec{AB}$: $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
Таким образом, данный набор векторов $\{\vec{AD}, \vec{CC_1}, \vec{A_1B_1}\}$ эквивалентен набору $\{\vec{AD}, \vec{AA_1}, \vec{AB}\}$. Этот набор векторов, с точностью до перестановки, совпадает с набором из пункта б). Как мы уже установили, эти векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не компланарны.