Номер 590, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

590. Векторы a + 2b и a − 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.

По условию задачи векторы $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{a} - 3\vec{b}$ коллинеарны.

Согласно определению, два ненулевых вектора коллинеарны, если существует такое число $k$, что один вектор можно выразить через другой: $\vec{u} = k\vec{v}$. Также, нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Из условия коллинеарности векторов $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{a} - 3\vec{b}$ следует, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} - 3\vec{b})$

Докажем, что из этого следует коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть, что существует такое число $m$, что $\vec{a} = m\vec{b}$ (или $\vec{b} = \vec{0}$).

Преобразуем полученное равенство. Раскроем скобки:

$\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} - 3k\vec{b}$

Сгруппируем члены с $\vec{a}$ в левой части, а с $\vec{b}$ — в правой:

$\vec{a} - k\vec{a} = -3k\vec{b} - 2\vec{b}$

Вынесем общие векторные множители за скобки:

$(1-k)\vec{a} = (-3k - 2)\vec{b}$

Далее рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $1-k \neq 0$, то есть $k \neq 1$.

В этом случае мы можем разделить обе части равенства на ненулевой скаляр $(1-k)$:

$\vec{a} = \frac{-3k - 2}{1 - k}\vec{b}$

Обозначим коэффициент при $\vec{b}$ как $m = \frac{-3k - 2}{1 - k}$. Так как $k$ — это число, то $m$ — тоже число. Таким образом, мы получили равенство вида $\vec{a} = m\vec{b}$. Это по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $1-k = 0$, то есть $k = 1$.

Подставим $k=1$ в исходное преобразованное уравнение $(1-k)\vec{a} = (-3k - 2)\vec{b}$:

$(1-1)\vec{a} = (-3 \cdot 1 - 2)\vec{b}$

$0 \cdot \vec{a} = (-5)\vec{b}$

$\vec{0} = -5\vec{b}$

Это равенство выполняется только в том случае, если $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, а значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них доказали, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.