Номер 587, страница 150 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

587. Известно, что p = a + b + c, причём векторы a, b, и с попарно не сонаправлены. Докажите, что | p | = | a | + | b | + | c |.

Данную задачу в предложенной формулировке доказать невозможно, так как утверждение, которое требуется доказать, находится в прямом противоречии с исходным условием. Проведем детальный анализ, чтобы продемонстрировать это противоречие.

Утверждение, которое необходимо доказать: $|\vec{p}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$, при условии, что $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Это равенство представляет собой крайний случай так называемого неравенства треугольника (или неравенства многоугольника), которое для трех векторов в общем виде выглядит как $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$. Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены (т.е. направлены в одну и ту же сторону).

Докажем это строго. Для этого возведем обе части доказываемого равенства в квадрат. Модули векторов неотрицательны, поэтому такое преобразование является эквивалентным.

Квадрат левой части равенства:
$|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$
Используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора ($|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$), получаем:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
Раскрывая скобки, получаем:
$|\vec{p}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$
Вспоминая, что скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равно $|\vec{x}||\vec{y}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между ними, перепишем выражение:
$|\vec{p}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + 2|\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) + 2|\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})$

Квадрат правой части равенства:
$(|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|)^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + 2|\vec{a}||\vec{c}| + 2|\vec{b}||\vec{c}|$

Теперь приравняем выражения для квадратов левой и правой частей:
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + \dots) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| + \dots)$
После вычитания одинаковых слагаемых из обеих частей, получим:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) + |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) + |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = |\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{a}||\vec{c}| + |\vec{b}||\vec{c}|$
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:
$|\vec{a}||\vec{b}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})) + |\vec{a}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}})) + |\vec{b}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})) = 0$

Проанализируем полученное уравнение. Предположим, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не являются нулевыми (в противном случае условие "не сонаправлены" становится некорректным). Тогда их модули $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$ — строго положительные числа.
Для любого угла $\theta$ значение его косинуса $\cos(\theta)$ находится в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, выражение $1 - \cos(\theta)$ всегда неотрицательно ($1 - \cos(\theta) \ge 0$).
Таким образом, каждое из трех слагаемых в левой части уравнения является произведением неотрицательных чисел и, следовательно, само по себе неотрицательно.
Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Это приводит к системе из трех условий:
1. $|\vec{a}||\vec{b}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 1$. Это значит, что угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 0, то есть они сонаправлены.
2. $|\vec{a}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{a},\vec{c}}) = 1$. Это значит, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены.
3. $|\vec{b}||\vec{c}|(1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}})) = 0 \implies 1 - \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = 0 \implies \cos(\widehat{\vec{b},\vec{c}}) = 1$. Это значит, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены.

Из этого следует, что равенство $|\vec{p}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ может выполняться только в том случае, если все три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены друг с другом.

Однако в условии задачи дано, что "векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ попарно не сонаправлены". Это условие прямо противоречит необходимому условию для выполнения доказываемого равенства.

Вывод: Утверждение задачи неверно, так как оно требует, чтобы векторы были сонаправлены, в то время как условие задачи это запрещает. Вероятнее всего, в формулировке задачи содержится опечатка (например, частица "не" является лишней).

Ответ: Доказать утверждение невозможно, так как оно неверно при заданных условиях. Равенство $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ справедливо только тогда, когда векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ сонаправлены. Условие же задачи гласит, что они попарно не сонаправлены, что создает неразрешимое противоречие.