Номер 581, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

581. Диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке О. Найдите число k, такое, что:

а)

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Грань $ABCD$ является квадратом. Рёбра $AB$ и $CD$ — это противоположные стороны этого квадрата. Следовательно, они параллельны и равны по длине, то есть $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$.

Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки A к точке B. Вектор $\vec{CD}$ направлен от точки C к точке D. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны.

Если рассмотреть грань $ABCD$, то движение от A к B происходит в одном направлении (например, вдоль оси Ox), а движение от C к D — в противоположном. Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ противоположно направлены.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют равные модули и противоположные направления, то $\vec{AB} = -1 \cdot \vec{CD}$. Сравнивая это с равенством из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$, получаем, что $k = -1$.

Ответ: $k = -1$.

б)

Рассмотрим векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$. $AC_1$ — это главная диагональ куба. Точка O является точкой пересечения всех главных диагоналей куба. По свойству диагоналей куба, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следовательно, точка O является серединой диагонали $AC_1$. Это означает, что точки A, O и $C_1$ лежат на одной прямой. Векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$ начинаются в одной точке A и направлены вдоль одной прямой в одну и ту же сторону (от A к $C_1$). Значит, они сонаправлены, и коэффициент $k$ будет положительным.

Так как O — середина отрезка $AC_1$, то длина отрезка $AC_1$ в два раза больше длины отрезка $AO$: $|AC_1| = 2 \cdot |AO|$.

Поскольку векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$ сонаправлены, то из равенства $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AO}$ следует, что $k$ равен отношению их длин:

$k = \frac{|\vec{AC_1}|}{|\vec{AO}|} = \frac{2 \cdot |AO|}{|AO|} = 2$

Ответ: $k = 2$.

в)

Рассмотрим векторы $\vec{OB_1}$ и $\vec{B_1D}$. Точки O, $B_1$ и D лежат на одной из главных диагоналей куба — $DB_1$. Точка O является серединой этой диагонали.

Таким образом, векторы $\vec{OB_1}$ и $\vec{B_1D}$ коллинеарны, так как лежат на одной прямой $DB_1$.

Определим их направления. Вектор $\vec{OB_1}$ направлен от центра куба O к вершине $B_1$. Вектор $\vec{B_1D}$ направлен от вершины $B_1$ к вершине D. Эти направления противоположны. Следовательно, коэффициент $k$ в равенстве $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{B_1D}$ будет отрицательным.

Теперь найдём соотношение их длин. Точка O — середина $DB_1$, поэтому длина отрезка $OB_1$ равна половине длины отрезка $DB_1$.

$|OB_1| = \frac{1}{2} |DB_1|$

Длина вектора $\vec{OB_1}$ равна $|OB_1|$, а длина вектора $\vec{B_1D}$ равна $|B_1D|$. Так как O - середина, то $|B_1D| = |DB_1|$.

Из векторного равенства $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{B_1D}$ следует равенство их модулей: $|\vec{OB_1}| = |k| \cdot |\vec{B_1D}|$.

$|k| = \frac{|\vec{OB_1}|}{|\vec{B_1D}|} = \frac{\frac{1}{2} |DB_1|}{|DB_1|} = \frac{1}{2}$

Поскольку векторы направлены в противоположные стороны, $k$ должен быть отрицательным. Значит, $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.