Номер 574, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

574. Упростите выражение:

а) Для упрощения данного векторного выражения $ \vec{OP} - \vec{EP} + \vec{KD} - \vec{KA} $ воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. Основные правила, которые нам понадобятся:
1. Правило вычитания векторов: $ \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} $.
2. Замена вычитания на сложение: $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $, где $ -\vec{XY} = \vec{YX} $.
3. Правило треугольника (правило Шаля): $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $.

Сгруппируем слагаемые в исходном выражении:
$ (\vec{OP} - \vec{EP}) + (\vec{KD} - \vec{KA}) $
Упростим каждую группу отдельно.
Для первой группы $ \vec{OP} - \vec{EP} $ используем замену вычитания на сложение:
$ \vec{OP} - \vec{EP} = \vec{OP} + \vec{PE} $
По правилу треугольника (переставив слагаемые):
$ \vec{PE} + \vec{OP} = \vec{OE} $

Для второй группы $ \vec{KD} - \vec{KA} $ можно сразу применить правило вычитания векторов, если представить их как векторы, отложенные от одной точки K:
$ \vec{KD} - \vec{KA} = \vec{AD} $

Теперь сложим результаты упрощения обеих групп:
$ \vec{OE} + \vec{AD} $
Это выражение нельзя упростить дальше без дополнительной информации о точках.
Ответ: $ \vec{OE} + \vec{AD} $

б) Рассмотрим выражение $ \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} - \vec{EP} - \vec{MD} $.
Сначала преобразуем вычитание в сложение с противоположными векторами:
$ \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} - \vec{EP} - \vec{MD} = \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} + \vec{PE} + \vec{DM} $
Теперь перегруппируем векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом следующего, чтобы можно было применить правило многоугольника (последовательное применение правила треугольника):
$ \vec{AD} + \vec{DM} + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
Сумма такой цепочки векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом последнего вектора (точка K).
Пошагово:
$ (\vec{AD} + \vec{DM}) + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} = \vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
$ (\vec{AM} + \vec{MP}) + \vec{PE} + \vec{EK} = \vec{AP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
$ (\vec{AP} + \vec{PE}) + \vec{EK} = \vec{AE} + \vec{EK} $
$ \vec{AE} + \vec{EK} = \vec{AK} $
Ответ: $ \vec{AK} $

в) Упростим выражение $ \vec{AC} - \vec{BC} - \vec{PM} - \vec{AP} + \vec{BM} $.
Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами:
$ \vec{AC} - \vec{BC} - \vec{PM} - \vec{AP} + \vec{BM} = \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} $
Перегруппируем слагаемые для удобства сложения по правилу треугольника:
$ (\vec{PA} + \vec{AC}) + (\vec{CB}) + (\vec{BM} + \vec{MP}) $
Упростим выражения в скобках:
$ \vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC} $
$ \vec{BM} + \vec{MP} = \vec{BP} $
Подставим полученные векторы обратно в выражение:
$ \vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BP} $
Снова применим правило треугольника:
$ (\vec{PC} + \vec{CB}) + \vec{BP} = \vec{PB} + \vec{BP} $
Векторы $ \vec{PB} $ и $ \vec{BP} $ являются противоположными, так как $ \vec{PB} = - \vec{BP} $. Их сумма равна нулевому вектору:
$ \vec{PB} + \vec{BP} = \vec{0} $
Ответ: $ \vec{0} $