Номер 575, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

575. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что OA + OC₁ = OC + OA₁, где О — произвольная точка пространства.

Для доказательства векторного равенства $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OA_1}$, где $O$ — произвольная точка пространства, преобразуем его, сгруппировав векторы.

Перенесем вектор $\vec{OC}$ в левую часть равенства, а вектор $\vec{OC_1}$ — в правую. Равенство примет вид:

$\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{OA_1} - \vec{OC_1}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов: для любых трех точек $P, Q, R$ справедливо, что $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$. Применим это правило к обеим частям нашего равенства, где в качестве точки $P$ выступает точка $O$.

Для левой части равенства: $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$.

Для правой части равенства: $\vec{OA_1} - \vec{OC_1} = \vec{C_1A_1}$.

Таким образом, исходное равенство равносильно следующему векторному равенству:

$\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$

Теперь докажем, что это равенство справедливо для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению параллелепипеда, его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются равными параллелограммами, лежащими в параллельных плоскостях. Это означает, что верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ можно получить из нижнего основания $ABCD$ путем параллельного переноса на вектор бокового ребра, например, $\vec{AA_1}$.

При параллельном переносе любой вектор переходит в равный ему вектор. Следовательно, вектор-диагональ $\vec{AC}$ нижнего основания переходит в соответствующий вектор-диагональ $\vec{A_1C_1}$ верхнего основания, то есть:

$\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$

Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{C_1A_1}$ являются противоположными к векторам $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ соответственно:

$\vec{CA} = -\vec{AC}$

$\vec{C_1A_1} = -\vec{A_1C_1}$

Так как $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, то, умножив обе части этого равенства на $-1$, получим $-\vec{AC} = -\vec{A_1C_1}$, что равносильно $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.

Поскольку мы доказали верность равенства $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$, то и равносильное ему исходное равенство $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OA_1}$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.