Номер 571, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

571. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK₁L₁M₁N₁. Докажите, что:

а) Докажите, что $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} - \vec{MM_1}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{MK} + \vec{MM_1}|$.
Векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MM_1}$ выходят из одной точки $M$. Так как $KLMNK_1L_1M_1N_1$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $MKK_1M_1$ является прямоугольником. Векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MM_1}$ являются смежными сторонами этого прямоугольника. По правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма равна вектору диагонали, исходящей из той же точки: $\vec{MK} + \vec{MM_1} = \vec{MK_1}$.
Следовательно, модуль их суммы равен длине этой диагонали: $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK_1}| = MK_1$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{MK} - \vec{MM_1}|$.
Разность двух векторов, исходящих из одной точки, равна вектору, соединяющему конец второго вектора с концом первого. В данном случае это вектор $\vec{M_1K}$. $\vec{MK} - \vec{MM_1} = \vec{M_1K}$.
Следовательно, модуль их разности равен длине этого вектора: $|\vec{MK} - \vec{MM_1}| = |\vec{M_1K}| = M_1K$.

Таким образом, равенство сводится к доказательству того, что $MK_1 = M_1K$.
Отрезки $MK_1$ и $M_1K$ являются диагоналями грани $MKK_1M_1$. Поскольку в прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а диагонали прямоугольника равны, то $MK_1 = M_1K$.
Следовательно, исходное равенство $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} - \vec{MM_1}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажите, что $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}|$.
Преобразуем разность векторов: $\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1} = \vec{K_1L_1} + (-\vec{NL_1}) = \vec{K_1L_1} + \vec{L_1N}$.
По правилу треугольника (или цепи) для сложения векторов: $\vec{K_1L_1} + \vec{L_1N} = \vec{K_1N}$.
Таким образом, $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{K_1N}| = K_1N$. $K_1N$ - это диагональ боковой грани $K_1N_1NK$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{ML} + \vec{MM_1}|$.
Векторы $\vec{ML}$ и $\vec{MM_1}$ исходят из одной точки $M$ и являются смежными сторонами прямоугольной грани $MLL_1M_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали этой грани: $\vec{ML} + \vec{MM_1} = \vec{ML_1}$.
Следовательно, $|\vec{ML} + \vec{MM_1}| = |\vec{ML_1}| = ML_1$. $ML_1$ - это диагональ боковой грани $MLL_1M_1$.

Равенство сводится к доказательству того, что $K_1N = ML_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани равны (являются конгруэнтными прямоугольниками). Грани $K_1N_1NK$ и $L_1M_1ML$ являются противолежащими. Следовательно, прямоугольник $K_1N_1NK$ равен прямоугольнику $MLL_1M_1$.
Диагонали равных прямоугольников равны, поэтому $K_1N = ML_1$.
Следовательно, исходное равенство $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажите, что $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} - \vec{LN}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{NL} - \vec{M_1L}|$.
Векторы $\vec{NL}$ и $\vec{M_1L}$ имеют общий конец в точке $L$. Разность таких векторов равна вектору, соединяющему их начальные точки (от начала второго к началу первого): $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{M_1N}$.
*Доказательство этого факта: $\vec{NL} - \vec{M_1L} = (\vec{L}-\vec{N}) - (\vec{L}-\vec{M_1}) = \vec{L}-\vec{N}-\vec{L}+\vec{M_1} = \vec{M_1}-\vec{N} = \vec{NM_1}$. Ой, здесь ошибка в направлении. Правильно: $\vec{M_1N}$*. *Перепроверка: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с общим концом $C$, т.е. $\vec{AC} - \vec{BC}$, равна вектору $\vec{AB}$. В нашем случае $\vec{N}$ - это $A$, $\vec{M_1}$ - это $B$, $\vec{L}$ - это $C$. Значит, $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{NM_1}$.* Итак, $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{NM_1}$.
Следовательно, $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{NM_1}| = NM_1$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{K_1N} - \vec{LN}|$.
Аналогично, векторы $\vec{K_1N}$ и $\vec{LN}$ имеют общий конец в точке $N$. Их разность равна вектору, соединяющему их начальные точки: $\vec{K_1N} - \vec{LN} = \vec{K_1L}$.
Следовательно, $|\vec{K_1N} - \vec{LN}| = |\vec{K_1L}| = K_1L$.

Равенство сводится к доказательству того, что $NM_1 = K_1L$.
Рассмотрим отрезок $NM_1$. В прямоугольном параллелепипеде ребро $MM_1$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и ребру $NM$. Таким образом, треугольник $\triangle NMM_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. По теореме Пифагора: $NM_1^2 = NM^2 + MM_1^2$.
Рассмотрим отрезок $K_1L$. Ребро $KK_1$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$, а значит, перпендикулярно ребру $KL$. Таким образом, треугольник $\triangle K_1KL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора: $K_1L^2 = KL^2 + KK_1^2$.
В параллелепипеде противолежащие ребра равны: $NM = KL$ и $MM_1 = KK_1$. Следовательно, $NM^2 + MM_1^2 = KL^2 + KK_1^2$, что означает $NM_1^2 = K_1L^2$, и $NM_1 = K_1L$.
Таким образом, исходное равенство $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} - \vec{LN}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.