Номер 578, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

578. Основанием четырёхугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов. Выразим каждый вектор в левой части доказываемого равенства, используя точку O как промежуточную точку по правилу треугольника:

$\vec{PA} = \vec{PO} + \vec{OA}$

$\vec{PB} = \vec{PO} + \vec{OB}$

$\vec{PC} = \vec{PO} + \vec{OC}$

$\vec{PD} = \vec{PO} + \vec{OD}$

Теперь сложим левую часть исходного равенства, подставив в неё полученные выражения:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = (\vec{PO} + \vec{OA}) + (\vec{PO} + \vec{OB}) + (\vec{PO} + \vec{OC}) + (\vec{PO} + \vec{OD})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$

Чтобы завершить доказательство, необходимо показать, что сумма векторов в скобках равна нулевому вектору, то есть $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.

Пусть M и N — середины непараллельных (боковых) сторон трапеции, например, AB и CD. Тогда отрезок MN является средней линией трапеции ABCD.

По правилу медианы для векторов (которое следует из правила параллелограмма), для треугольника OAB, где OM - отрезок, соединяющий вершину O с серединой стороны AB, справедливо равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$

Аналогично, для треугольника OCD, где N — середина стороны CD:

$\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{ON}$

Теперь мы можем преобразовать искомую сумму векторов:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OM} + 2\vec{ON} = 2(\vec{OM} + \vec{ON})$

Согласно условию задачи, точка O является серединой средней линии MN. Это означает, что векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{OM} + \vec{ON} = \vec{0}$

Подставим этот результат в предыдущее выражение:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{0}) = \vec{0}$

Теперь вернемся к нашему исходному преобразованному равенству и подставим в него полученный результат:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO} + \vec{0}$

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO}$ доказано.