Страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

571. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK₁L₁M₁N₁. Докажите, что:

а) Докажите, что $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} - \vec{MM_1}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{MK} + \vec{MM_1}|$.
Векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MM_1}$ выходят из одной точки $M$. Так как $KLMNK_1L_1M_1N_1$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $MKK_1M_1$ является прямоугольником. Векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MM_1}$ являются смежными сторонами этого прямоугольника. По правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма равна вектору диагонали, исходящей из той же точки: $\vec{MK} + \vec{MM_1} = \vec{MK_1}$.
Следовательно, модуль их суммы равен длине этой диагонали: $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK_1}| = MK_1$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{MK} - \vec{MM_1}|$.
Разность двух векторов, исходящих из одной точки, равна вектору, соединяющему конец второго вектора с концом первого. В данном случае это вектор $\vec{M_1K}$. $\vec{MK} - \vec{MM_1} = \vec{M_1K}$.
Следовательно, модуль их разности равен длине этого вектора: $|\vec{MK} - \vec{MM_1}| = |\vec{M_1K}| = M_1K$.

Таким образом, равенство сводится к доказательству того, что $MK_1 = M_1K$.
Отрезки $MK_1$ и $M_1K$ являются диагоналями грани $MKK_1M_1$. Поскольку в прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а диагонали прямоугольника равны, то $MK_1 = M_1K$.
Следовательно, исходное равенство $|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} - \vec{MM_1}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажите, что $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}|$.
Преобразуем разность векторов: $\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1} = \vec{K_1L_1} + (-\vec{NL_1}) = \vec{K_1L_1} + \vec{L_1N}$.
По правилу треугольника (или цепи) для сложения векторов: $\vec{K_1L_1} + \vec{L_1N} = \vec{K_1N}$.
Таким образом, $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{K_1N}| = K_1N$. $K_1N$ - это диагональ боковой грани $K_1N_1NK$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{ML} + \vec{MM_1}|$.
Векторы $\vec{ML}$ и $\vec{MM_1}$ исходят из одной точки $M$ и являются смежными сторонами прямоугольной грани $MLL_1M_1$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали этой грани: $\vec{ML} + \vec{MM_1} = \vec{ML_1}$.
Следовательно, $|\vec{ML} + \vec{MM_1}| = |\vec{ML_1}| = ML_1$. $ML_1$ - это диагональ боковой грани $MLL_1M_1$.

Равенство сводится к доказательству того, что $K_1N = ML_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани равны (являются конгруэнтными прямоугольниками). Грани $K_1N_1NK$ и $L_1M_1ML$ являются противолежащими. Следовательно, прямоугольник $K_1N_1NK$ равен прямоугольнику $MLL_1M_1$.
Диагонали равных прямоугольников равны, поэтому $K_1N = ML_1$.
Следовательно, исходное равенство $|\vec{K_1L_1} - \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажите, что $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} - \vec{LN}|$

Рассмотрим левую часть равенства: $|\vec{NL} - \vec{M_1L}|$.
Векторы $\vec{NL}$ и $\vec{M_1L}$ имеют общий конец в точке $L$. Разность таких векторов равна вектору, соединяющему их начальные точки (от начала второго к началу первого): $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{M_1N}$.
*Доказательство этого факта: $\vec{NL} - \vec{M_1L} = (\vec{L}-\vec{N}) - (\vec{L}-\vec{M_1}) = \vec{L}-\vec{N}-\vec{L}+\vec{M_1} = \vec{M_1}-\vec{N} = \vec{NM_1}$. Ой, здесь ошибка в направлении. Правильно: $\vec{M_1N}$*. *Перепроверка: разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с общим концом $C$, т.е. $\vec{AC} - \vec{BC}$, равна вектору $\vec{AB}$. В нашем случае $\vec{N}$ - это $A$, $\vec{M_1}$ - это $B$, $\vec{L}$ - это $C$. Значит, $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{NM_1}$.* Итак, $\vec{NL} - \vec{M_1L} = \vec{NM_1}$.
Следовательно, $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{NM_1}| = NM_1$.

Рассмотрим правую часть равенства: $|\vec{K_1N} - \vec{LN}|$.
Аналогично, векторы $\vec{K_1N}$ и $\vec{LN}$ имеют общий конец в точке $N$. Их разность равна вектору, соединяющему их начальные точки: $\vec{K_1N} - \vec{LN} = \vec{K_1L}$.
Следовательно, $|\vec{K_1N} - \vec{LN}| = |\vec{K_1L}| = K_1L$.

Равенство сводится к доказательству того, что $NM_1 = K_1L$.
Рассмотрим отрезок $NM_1$. В прямоугольном параллелепипеде ребро $MM_1$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и ребру $NM$. Таким образом, треугольник $\triangle NMM_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. По теореме Пифагора: $NM_1^2 = NM^2 + MM_1^2$.
Рассмотрим отрезок $K_1L$. Ребро $KK_1$ перпендикулярно плоскости основания $KLMN$, а значит, перпендикулярно ребру $KL$. Таким образом, треугольник $\triangle K_1KL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. По теореме Пифагора: $K_1L^2 = KL^2 + KK_1^2$.
В параллелепипеде противолежащие ребра равны: $NM = KL$ и $MM_1 = KK_1$. Следовательно, $NM^2 + MM_1^2 = KL^2 + KK_1^2$, что означает $NM_1^2 = K_1L^2$, и $NM_1 = K_1L$.
Таким образом, исходное равенство $|\vec{NL} - \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} - \vec{LN}|$ верно.
Ответ: Равенство доказано.

572. Упростите выражение:

a)

Данное выражение: $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{PQ} + \vec{NM}$.
Для упрощения воспользуемся свойствами сложения векторов. Сгруппируем слагаемые, используя коммутативный (переместительный) закон:
$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{MN} + \vec{NM}) + \vec{PQ}$.
Рассмотрим первую группу $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$. По правилу треугольника (правило Шаля) сложения векторов, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Тогда выражение в скобках принимает вид: $\vec{AC} + \vec{CA}$.
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ являются противоположными, так как они имеют равные длины и противоположные направления ($\vec{CA} = -\vec{AC}$). Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.
Рассмотрим вторую группу $(\vec{MN} + \vec{NM})$. Аналогично, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NM}$ противоположны, и их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}$.
Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$\vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ} = \vec{PQ}$.
Ответ: $\vec{PQ}$

б)

Данное выражение: $\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}$.
Переставим слагаемые таким образом, чтобы конец каждого предыдущего вектора совпадал с началом следующего, чтобы применить правило многоугольника:
$\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK}$.
Теперь последовательно сложим векторы:
$\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}$
$\vec{AQ} + \vec{QK} = \vec{AK}$
$\vec{AK} + \vec{KP} = \vec{AP}$
$\vec{AP} + \vec{PF} = \vec{AF}$
$\vec{AF} + \vec{FK} = \vec{AK}$
Сумма векторов, образующих ломаную линию, равна вектору, замыкающему эту ломаную, то есть вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку последнего вектора (K).
Ответ: $\vec{AK}$

в)

Данное выражение: $\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{AC} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{CA} + \vec{MP}$.
Перегруппируем слагаемые для упрощения. Во-первых, заметим пару противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.
Выражение примет вид: $\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{MP}$.
Теперь сгруппируем оставшиеся векторы по правилу многоугольника. Построим цепочку:
$(\vec{CD} + \vec{DF}) + (\vec{FK}) + (\vec{KM} + \vec{MP})$ - такая группировка не оптимальна. Построим единую цепь:
Соберем все векторы в одну цепь, начиная, например, с точки A. Хотя в выражении уже нет $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$, для наглядности вернем их и сгруппируем иначе: $(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP}) + \vec{CA}$.
Сумма векторов в скобках по правилу многоугольника равна вектору, соединяющему начало первого (A) и конец последнего (P):
$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP} = \vec{AP}$.
Подставим это обратно в выражение:
$\vec{AP} + \vec{CA}$.
Поменяем слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:
$\vec{CA} + \vec{AP} = \vec{CP}$.
Ответ: $\vec{CP}$

г)

Данное выражение: $\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}$.
Сгруппируем слагаемые в пары противоположных векторов:
$(\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM})$.
Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору. Таким образом:
$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$
$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$
$\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}$
Следовательно, все выражение равно сумме нулевых векторов:
$\vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$

573. Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор AB в виде алгебраической суммы следующих векторов:

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (правило Шаля или правило многоугольника) и свойство противоположных векторов.

Правило Шаля гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Свойство противоположных векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Наша цель — выразить вектор $\vec{AB}$ через заданный набор векторов для каждого пункта.

а)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ в виде алгебраической суммы векторов $\vec{AC}$, $\vec{DC}$ и $\vec{BD}$.

Мы можем представить вектор $\vec{AB}$ как сумму векторов, проходящих через точки C и D. Один из возможных путей — из A в C, из C в D, из D в B. По правилу Шаля это неверный путь, так как $\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{DB} = \vec{AB}$. Попробуем другой путь: из A в D, а затем из D в B.

Запишем $\vec{AB}$ как сумму: $\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}$.

Теперь представим вектор $\vec{AD}$ через точку C: $\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.

Подставим это в наше выражение для $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$.

Теперь нам нужно выразить векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DB}$ через заданные в условии $\vec{DC}$ и $\vec{BD}$.

Используем свойство противоположных векторов:

$\vec{CD} = -\vec{DC}$

$\vec{DB} = -\vec{BD}$

Подставим эти выражения в полученную сумму:

$\vec{AB} = \vec{AC} + (-\vec{DC}) + (-\vec{BD}) = \vec{AC} - \vec{DC} - \vec{BD}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{DC} - \vec{BD}$.

б)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$.

Представим вектор $\vec{AB}$ как сумму векторов по ломаной A-D-C-B. По правилу многоугольника (обобщенному правилу Шаля):

$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$.

Теперь сравним полученные векторы с теми, что даны в условии. Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ уже есть в нашем выражении. Нам нужно выразить $\vec{AD}$ через $\vec{DA}$.

По свойству противоположных векторов: $\vec{AD} = -\vec{DA}$.

Подставим это в нашу сумму:

$\vec{AB} = (-\vec{DA}) + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DC} + \vec{CB} - \vec{DA}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{DC} + \vec{CB} - \vec{DA}$.

в)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{CD}$ и $\vec{BC}$.

Мы можем использовать то же разложение, что и в пункте б):

$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$.

Теперь выразим каждый вектор в этой сумме через векторы, заданные в условии ($\vec{DA}$, $\vec{CD}$, $\vec{BC}$), используя свойство противоположных векторов:

$\vec{AD} = -\vec{DA}$

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

$\vec{CB} = -\vec{BC}$

Подставим все эти выражения в разложение для $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-\vec{DA}) + (-\vec{CD}) + (-\vec{BC}) = -\vec{DA} - \vec{CD} - \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{DA} - \vec{CD} - \vec{BC}$.

574. Упростите выражение:

а) Для упрощения данного векторного выражения $ \vec{OP} - \vec{EP} + \vec{KD} - \vec{KA} $ воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. Основные правила, которые нам понадобятся:
1. Правило вычитания векторов: $ \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} $.
2. Замена вычитания на сложение: $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $, где $ -\vec{XY} = \vec{YX} $.
3. Правило треугольника (правило Шаля): $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $.

Сгруппируем слагаемые в исходном выражении:
$ (\vec{OP} - \vec{EP}) + (\vec{KD} - \vec{KA}) $
Упростим каждую группу отдельно.
Для первой группы $ \vec{OP} - \vec{EP} $ используем замену вычитания на сложение:
$ \vec{OP} - \vec{EP} = \vec{OP} + \vec{PE} $
По правилу треугольника (переставив слагаемые):
$ \vec{PE} + \vec{OP} = \vec{OE} $

Для второй группы $ \vec{KD} - \vec{KA} $ можно сразу применить правило вычитания векторов, если представить их как векторы, отложенные от одной точки K:
$ \vec{KD} - \vec{KA} = \vec{AD} $

Теперь сложим результаты упрощения обеих групп:
$ \vec{OE} + \vec{AD} $
Это выражение нельзя упростить дальше без дополнительной информации о точках.
Ответ: $ \vec{OE} + \vec{AD} $

б) Рассмотрим выражение $ \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} - \vec{EP} - \vec{MD} $.
Сначала преобразуем вычитание в сложение с противоположными векторами:
$ \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} - \vec{EP} - \vec{MD} = \vec{AD} + \vec{MP} + \vec{EK} + \vec{PE} + \vec{DM} $
Теперь перегруппируем векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом следующего, чтобы можно было применить правило многоугольника (последовательное применение правила треугольника):
$ \vec{AD} + \vec{DM} + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
Сумма такой цепочки векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом последнего вектора (точка K).
Пошагово:
$ (\vec{AD} + \vec{DM}) + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} = \vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
$ (\vec{AM} + \vec{MP}) + \vec{PE} + \vec{EK} = \vec{AP} + \vec{PE} + \vec{EK} $
$ (\vec{AP} + \vec{PE}) + \vec{EK} = \vec{AE} + \vec{EK} $
$ \vec{AE} + \vec{EK} = \vec{AK} $
Ответ: $ \vec{AK} $

в) Упростим выражение $ \vec{AC} - \vec{BC} - \vec{PM} - \vec{AP} + \vec{BM} $.
Заменим вычитание на сложение с противоположными векторами:
$ \vec{AC} - \vec{BC} - \vec{PM} - \vec{AP} + \vec{BM} = \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} $
Перегруппируем слагаемые для удобства сложения по правилу треугольника:
$ (\vec{PA} + \vec{AC}) + (\vec{CB}) + (\vec{BM} + \vec{MP}) $
Упростим выражения в скобках:
$ \vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC} $
$ \vec{BM} + \vec{MP} = \vec{BP} $
Подставим полученные векторы обратно в выражение:
$ \vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BP} $
Снова применим правило треугольника:
$ (\vec{PC} + \vec{CB}) + \vec{BP} = \vec{PB} + \vec{BP} $
Векторы $ \vec{PB} $ и $ \vec{BP} $ являются противоположными, так как $ \vec{PB} = - \vec{BP} $. Их сумма равна нулевому вектору:
$ \vec{PB} + \vec{BP} = \vec{0} $
Ответ: $ \vec{0} $

575. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что OA + OC₁ = OC + OA₁, где О — произвольная точка пространства.

Для доказательства векторного равенства $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OA_1}$, где $O$ — произвольная точка пространства, преобразуем его, сгруппировав векторы.

Перенесем вектор $\vec{OC}$ в левую часть равенства, а вектор $\vec{OC_1}$ — в правую. Равенство примет вид:

$\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{OA_1} - \vec{OC_1}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов: для любых трех точек $P, Q, R$ справедливо, что $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$. Применим это правило к обеим частям нашего равенства, где в качестве точки $P$ выступает точка $O$.

Для левой части равенства: $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$.

Для правой части равенства: $\vec{OA_1} - \vec{OC_1} = \vec{C_1A_1}$.

Таким образом, исходное равенство равносильно следующему векторному равенству:

$\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$

Теперь докажем, что это равенство справедливо для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению параллелепипеда, его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются равными параллелограммами, лежащими в параллельных плоскостях. Это означает, что верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ можно получить из нижнего основания $ABCD$ путем параллельного переноса на вектор бокового ребра, например, $\vec{AA_1}$.

При параллельном переносе любой вектор переходит в равный ему вектор. Следовательно, вектор-диагональ $\vec{AC}$ нижнего основания переходит в соответствующий вектор-диагональ $\vec{A_1C_1}$ верхнего основания, то есть:

$\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$

Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{C_1A_1}$ являются противоположными к векторам $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ соответственно:

$\vec{CA} = -\vec{AC}$

$\vec{C_1A_1} = -\vec{A_1C_1}$

Так как $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, то, умножив обе части этого равенства на $-1$, получим $-\vec{AC} = -\vec{A_1C_1}$, что равносильно $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.

Поскольку мы доказали верность равенства $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$, то и равносильное ему исходное равенство $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OC} + \vec{OA_1}$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

576. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что:

а) Дано векторное равенство: $ \vec{DC} + \vec{D_1A_1} + \vec{CD_1} + \vec{x} + \vec{A_1C_1} = \vec{DB} $.
Чтобы найти вектор $ \vec{x} $, сначала упростим левую часть уравнения, сгруппировав векторы для применения правила сложения (правило многоугольника):
$ (\vec{DC} + \vec{CD_1}) + (\vec{D_1A_1} + \vec{A_1C_1}) + \vec{x} = \vec{DB} $
По правилу треугольника (сумма векторов, где конец одного является началом другого):
$ \vec{DC} + \vec{CD_1} = \vec{DD_1} $
$ \vec{D_1A_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{D_1C_1} $
Подставим полученные результаты в уравнение:
$ \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{x} = \vec{DB} $
Снова применяем правило треугольника:
$ \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{DC_1} $
Теперь уравнение имеет вид:
$ \vec{DC_1} + \vec{x} = \vec{DB} $
Выразим из него $ \vec{x} $:
$ \vec{x} = \vec{DB} - \vec{DC_1} $
По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало ($ \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA} $):
$ \vec{DB} - \vec{DC_1} = \vec{C_1B} $
Таким образом, искомый вектор $ \vec{x} $ — это вектор, идущий из вершины $ C_1 $ в вершину $ B $.
Ответ: $ \vec{x} = \vec{C_1B} $.

б) Дано векторное равенство: $ \vec{DA} + \vec{x} + \vec{D_1B} + \vec{AD_1} + \vec{BA} = \vec{DC} $.
Как и в предыдущем пункте, упростим левую часть, сгруппировав векторы:
$ (\vec{BA} + \vec{AD_1}) + \vec{D_1B} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
По правилу треугольника:
$ \vec{BA} + \vec{AD_1} = \vec{BD_1} $
Подставляем результат в уравнение:
$ \vec{BD_1} + \vec{D_1B} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
Сумма векторов $ \vec{BD_1} $ и $ \vec{D_1B} $ является суммой противоположных векторов, которая равна нулевому вектору:
$ \vec{BD_1} + \vec{D_1B} = \vec{BB} = \vec{0} $
Уравнение принимает вид:
$ \vec{0} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
$ \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
Выразим из него $ \vec{x} $:
$ \vec{x} = \vec{DC} - \vec{DA} $
По правилу вычитания векторов с общим началом:
$ \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{AC} $
Таким образом, искомый вектор $ \vec{x} $ — это вектор, идущий из вершины $ A $ в вершину $ C $.
Ответ: $ \vec{x} = \vec{AC} $.

577. Дана треугольная призма ABCА₁В₁С₁. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что:

а)

Дано векторное уравнение: $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{x} = \vec{BA}$.
Для того чтобы найти вектор $\vec{x}$, выразим его из этого уравнения:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{BA}$
Используем свойство противоположных векторов: $-\vec{BA} = \vec{AB}$.
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}$
Чтобы упростить выражение, разложим вектор $\vec{B_1C}$ по правилу треугольника, используя вершины призмы: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$.
По определению призмы, боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$.
Подставим это в разложение вектора $\vec{B_1C}$:
$\vec{B_1C} = -\vec{AA_1} + \vec{BC}$
Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1} + \vec{BC}) + \vec{AB}$
Сокращаем взаимоуничтожающиеся векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:
$\vec{x} = \vec{BC} + \vec{AB}$
Переставляем слагаемые и применяем правило сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{x} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Таким образом, искомый вектор $\vec{x}$ равен вектору $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{x} = \vec{AC}$.

б)

Дано векторное уравнение: $\vec{AC_1} - \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}$.
Выразим из уравнения вектор $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AC_1} + \vec{BB_1}$
Используем свойства призмы. Во-первых, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Во-вторых, разложим диагональ боковой грани $\vec{AC_1}$ по правилу параллелограмма: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$.
Другой способ разложения: $\vec{AC_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$.
Подставим разложение $\vec{AC_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$ и равенство $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ в уравнение для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AB} - (\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}) + \vec{AA_1}$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AA_1} - \vec{A_1C_1} + \vec{AA_1}$
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{A_1C_1}$
Поскольку основания призмы равны и параллельны, то $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AC}$
Применяем правило вычитания векторов: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Следовательно, искомый вектор $\vec{x}$ равен вектору $\vec{CB}$.
Ответ: $\vec{x} = \vec{CB}$.

в)

Дано векторное уравнение: $\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} - \vec{x} + \vec{BC_1}$.
Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, в левой части уравнения, а остальные - в правой:
$\vec{x} + \vec{x} = \vec{AC} + \vec{BC_1} - \vec{AB_1}$
$2\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BC_1} - \vec{AB_1}$
Упростим правую часть уравнения. Используем правило вычитания векторов: $\vec{AC} - \vec{AB_1} = \vec{B_1C}$.
$2\vec{x} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1}$
Чтобы найти сумму $\vec{B_1C} + \vec{BC_1}$, разложим оба вектора по правилу треугольника, используя вершины призмы.
$\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$
$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$
Теперь сложим эти два выражения:
$\vec{B_1C} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1B} + \vec{BC}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{B_1B} + 2\vec{BC} + \vec{CC_1}$
В призме векторы боковых ребер $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ равны, а вектор $\vec{B_1B}$ противоположен им: $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{CC_1}$.
Тогда $\vec{B_1B} + \vec{CC_1} = -\vec{CC_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$.
Следовательно, сумма векторов равна:
$\vec{B_1C} + \vec{BC_1} = 2\vec{BC}$
Подставим это в наше уравнение для $\vec{x}$:
$2\vec{x} = 2\vec{BC}$
Разделив обе части на 2, получим:
$\vec{x} = \vec{BC}$
Ответ: $\vec{x} = \vec{BC}$.

578. Основанием четырёхугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов. Выразим каждый вектор в левой части доказываемого равенства, используя точку O как промежуточную точку по правилу треугольника:

$\vec{PA} = \vec{PO} + \vec{OA}$

$\vec{PB} = \vec{PO} + \vec{OB}$

$\vec{PC} = \vec{PO} + \vec{OC}$

$\vec{PD} = \vec{PO} + \vec{OD}$

Теперь сложим левую часть исходного равенства, подставив в неё полученные выражения:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = (\vec{PO} + \vec{OA}) + (\vec{PO} + \vec{OB}) + (\vec{PO} + \vec{OC}) + (\vec{PO} + \vec{OD})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$

Чтобы завершить доказательство, необходимо показать, что сумма векторов в скобках равна нулевому вектору, то есть $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.

Пусть M и N — середины непараллельных (боковых) сторон трапеции, например, AB и CD. Тогда отрезок MN является средней линией трапеции ABCD.

По правилу медианы для векторов (которое следует из правила параллелограмма), для треугольника OAB, где OM - отрезок, соединяющий вершину O с серединой стороны AB, справедливо равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$

Аналогично, для треугольника OCD, где N — середина стороны CD:

$\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{ON}$

Теперь мы можем преобразовать искомую сумму векторов:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OM} + 2\vec{ON} = 2(\vec{OM} + \vec{ON})$

Согласно условию задачи, точка O является серединой средней линии MN. Это означает, что векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{OM} + \vec{ON} = \vec{0}$

Подставим этот результат в предыдущее выражение:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{0}) = \vec{0}$

Теперь вернемся к нашему исходному преобразованному равенству и подставим в него полученный результат:

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO} + \vec{0}$

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = 4\vec{PO}$ доказано.

579. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.

Пусть $P$ — вершина правильной шестиугольной пирамиды, а $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ — последовательные вершины её основания, которое является правильным шестиугольником.

Векторы, образованные боковыми рёбрами пирамиды, — это векторы, идущие из вершины $P$ в вершины основания: $\vec{PA_1}, \vec{PA_2}, \dots, \vec{PA_6}$.
Сумма этих векторов, обозначим её $\vec{S_1}$, равна:

$\vec{S_1} = \vec{PA_1} + \vec{PA_2} + \vec{PA_3} + \vec{PA_4} + \vec{PA_5} + \vec{PA_6} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PA_i}$

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Пусть $M_1, M_2, \dots, M_6$ — середины сторон основания $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_6A_1$ соответственно. Тогда векторы, образованные апофемами, — это векторы $\vec{PM_1}, \vec{PM_2}, \dots, \vec{PM_6}$.
Сумма этих векторов, обозначим её $\vec{S_2}$, равна:

$\vec{S_2} = \vec{PM_1} + \vec{PM_2} + \vec{PM_3} + \vec{PM_4} + \vec{PM_5} + \vec{PM_6} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PM_i}$

Требуется доказать, что $\vec{S_1} = \vec{S_2}$.

Рассмотрим любую боковую грань пирамиды, например, треугольник $PA_iA_{i+1}$ (где $A_7$ считается равной $A_1$). Поскольку $M_i$ является серединой стороны $A_iA_{i+1}$, отрезок $PM_i$ является медианой этого треугольника. По свойству медианы треугольника, вектор медианы, проведённой из некоторой вершины, равен полусумме векторов, исходящих из той же вершины и идущих к двум другим вершинам треугольника.

Применительно к нашим векторам, для каждой апофемы $\vec{PM_i}$ справедливо равенство:

$\vec{PM_i} = \frac{1}{2}(\vec{PA_i} + \vec{PA_{i+1}})$

Теперь найдём сумму векторов апофем $\vec{S_2}$, подставив в неё выражения для каждого вектора $\vec{PM_i}$:

$\vec{S_2} = \sum_{i=1}^{6} \vec{PM_i} = \frac{1}{2}(\vec{PA_1} + \vec{PA_2}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_2} + \vec{PA_3}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_3} + \vec{PA_4}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_4} + \vec{PA_5}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_5} + \vec{PA_6}) + \frac{1}{2}(\vec{PA_6} + \vec{PA_1})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем одинаковые векторы:

$\vec{S_2} = \frac{1}{2} [(\vec{PA_1} + \vec{PA_1}) + (\vec{PA_2} + \vec{PA_2}) + (\vec{PA_3} + \vec{PA_3}) + (\vec{PA_4} + \vec{PA_4}) + (\vec{PA_5} + \vec{PA_5}) + (\vec{PA_6} + \vec{PA_6})]$

$\vec{S_2} = \frac{1}{2} [2\vec{PA_1} + 2\vec{PA_2} + 2\vec{PA_3} + 2\vec{PA_4} + 2\vec{PA_5} + 2\vec{PA_6}]$

Сократив общий множитель 2, получаем:

$\vec{S_2} = \vec{PA_1} + \vec{PA_2} + \vec{PA_3} + \vec{PA_4} + \vec{PA_5} + \vec{PA_6}$

Сравнивая полученное выражение для $\vec{S_2}$ с исходным выражением для $\vec{S_1}$, мы видим, что они полностью совпадают:

$\vec{S_2} = \vec{S_1}$

Таким образом, мы доказали, что сумма всех векторов с началом в точке $P$, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке $P$, образованных апофемами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

580. Известно, что AO = $\frac{1}{2}$AB. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.

Две точки $A$ и $B$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Векторное условие для этого — равенство векторов $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB}$. Наша задача — доказать это равенство, используя данное условие.

По условию задачи нам известно, что:

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Для того чтобы связать это равенство с векторами, относящимися к точке $O$, представим вектор $\overrightarrow{AB}$ по правилу треугольника как сумму векторов:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$

Теперь подставим это выражение для вектора $\overrightarrow{AB}$ в исходное равенство:

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB})$

Чтобы решить это векторное уравнение, сначала умножим обе его части на 2:

$2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$

Затем перенесём вектор $\overrightarrow{AO}$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак:

$2\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB}$

Выполнив вычитание векторов в левой части, получаем:

$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB}$

Полученное равенство $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB}$ означает, что векторы равны, а значит, они имеют одинаковую длину ($|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{OB}|$) и одинаковое направление. Это в свою очередь означает, что точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, и точка $O$ делит отрезок $AB$ пополам.

Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, что по определению означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

581. Диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке О. Найдите число k, такое, что:

а)

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Грань $ABCD$ является квадратом. Рёбра $AB$ и $CD$ — это противоположные стороны этого квадрата. Следовательно, они параллельны и равны по длине, то есть $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$.

Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки A к точке B. Вектор $\vec{CD}$ направлен от точки C к точке D. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны.

Если рассмотреть грань $ABCD$, то движение от A к B происходит в одном направлении (например, вдоль оси Ox), а движение от C к D — в противоположном. Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ противоположно направлены.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ имеют равные модули и противоположные направления, то $\vec{AB} = -1 \cdot \vec{CD}$. Сравнивая это с равенством из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$, получаем, что $k = -1$.

Ответ: $k = -1$.

б)

Рассмотрим векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$. $AC_1$ — это главная диагональ куба. Точка O является точкой пересечения всех главных диагоналей куба. По свойству диагоналей куба, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следовательно, точка O является серединой диагонали $AC_1$. Это означает, что точки A, O и $C_1$ лежат на одной прямой. Векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$ начинаются в одной точке A и направлены вдоль одной прямой в одну и ту же сторону (от A к $C_1$). Значит, они сонаправлены, и коэффициент $k$ будет положительным.

Так как O — середина отрезка $AC_1$, то длина отрезка $AC_1$ в два раза больше длины отрезка $AO$: $|AC_1| = 2 \cdot |AO|$.

Поскольку векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{AO}$ сонаправлены, то из равенства $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AO}$ следует, что $k$ равен отношению их длин:

$k = \frac{|\vec{AC_1}|}{|\vec{AO}|} = \frac{2 \cdot |AO|}{|AO|} = 2$

Ответ: $k = 2$.

в)

Рассмотрим векторы $\vec{OB_1}$ и $\vec{B_1D}$. Точки O, $B_1$ и D лежат на одной из главных диагоналей куба — $DB_1$. Точка O является серединой этой диагонали.

Таким образом, векторы $\vec{OB_1}$ и $\vec{B_1D}$ коллинеарны, так как лежат на одной прямой $DB_1$.

Определим их направления. Вектор $\vec{OB_1}$ направлен от центра куба O к вершине $B_1$. Вектор $\vec{B_1D}$ направлен от вершины $B_1$ к вершине D. Эти направления противоположны. Следовательно, коэффициент $k$ в равенстве $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{B_1D}$ будет отрицательным.

Теперь найдём соотношение их длин. Точка O — середина $DB_1$, поэтому длина отрезка $OB_1$ равна половине длины отрезка $DB_1$.

$|OB_1| = \frac{1}{2} |DB_1|$

Длина вектора $\vec{OB_1}$ равна $|OB_1|$, а длина вектора $\vec{B_1D}$ равна $|B_1D|$. Так как O - середина, то $|B_1D| = |DB_1|$.

Из векторного равенства $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{B_1D}$ следует равенство их модулей: $|\vec{OB_1}| = |k| \cdot |\vec{B_1D}|$.

$|k| = \frac{|\vec{OB_1}|}{|\vec{B_1D}|} = \frac{\frac{1}{2} |DB_1|}{|DB_1|} = \frac{1}{2}$

Поскольку векторы направлены в противоположные стороны, $k$ должен быть отрицательным. Значит, $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

582. Точки Е и F — середины оснований AB и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор OA − OC через вектор EF; б) вектор OA − OE через вектор DC.

а)

Чтобы выразить вектор $\vec{OA} - \vec{OC}$ через вектор $\vec{EF}$, воспользуемся правилом вычитания векторов и определением средней линии треугольника.

1. Разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ по определению равна вектору $\vec{CA}$: $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию, точка $E$ — середина стороны $AB$, а точка $F$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

3. По свойству средней линии, вектор, построенный на ней, равен половине вектора, построенного на основании треугольника, которому эта средняя линия параллельна. В нашем случае, средняя линия $EF$ параллельна основанию $AC$. Таким образом: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

4. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Выразим $\vec{AC}$ из предыдущего равенства: $\vec{AC} = 2\vec{EF}$.

5. Подставим полученное выражение в формулу для $\vec{CA}$: $\vec{CA} = -2\vec{EF}$.

6. Так как $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$, то окончательно получаем: $\vec{OA} - \vec{OC} = -2\vec{EF}$.

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OC} = -2\vec{EF}$.

б)

Чтобы выразить вектор $\vec{OA} - \vec{OE}$ через вектор $\vec{DC}$, воспользуемся правилом вычитания векторов и свойствами параллелограмма.

1. Разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OE}$ по определению равна вектору $\vec{EA}$: $\vec{OA} - \vec{OE} = \vec{EA}$.

2. По условию, точка $E$ является серединой стороны $AB$. Это значит, что вектор $\vec{AE}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$: $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

3. Вектор $\vec{EA}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{BA}$, и равен ему по модулю. Вектор $\vec{EA}$ противоположен по направлению вектору $\vec{AE}$, поэтому: $\vec{EA} = -\vec{AE} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

4. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, построенные на противоположных сторонах, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

5. Подставим $\vec{DC}$ вместо $\vec{AB}$ в выражение для $\vec{EA}$: $\vec{EA} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.

6. Так как $\vec{OA} - \vec{OE} = \vec{EA}$, то получаем: $\vec{OA} - \vec{OE} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OE} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.

583. Точки М и N — середины сторон AB и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор OM − ON через векторы AD и BC.

Согласно условию, точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ соответственно, а $O$ — произвольная точка пространства. Требуется выразить вектор $\vec{OM} - \vec{ON}$ через векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.

Воспользуемся формулой для радиус-вектора середины отрезка. Если точка $K$ является серединой отрезка $PQ$, то для любой точки $O$ справедливо равенство: $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, мы можем записать:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Аналогично, так как $N$ — середина стороны $CD$:

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$

Теперь найдем разность векторов $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$, подставив полученные выражения:

$\vec{OM} - \vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) - \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{OM} - \vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} - \vec{OD})$

Для того чтобы выразить результат через векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, сгруппируем слагаемые в скобках соответствующим образом. Напомним, что по правилу вычитания векторов $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$.

$\vec{OM} - \vec{ON} = \frac{1}{2}((\vec{OA} - \vec{OD}) + (\vec{OB} - \vec{OC}))$

Теперь выразим разности в скобках через векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{OA} - \vec{OD} = -(\vec{OD} - \vec{OA}) = -\vec{AD}$

$\vec{OB} - \vec{OC} = -(\vec{OC} - \vec{OB}) = -\vec{BC}$

Подставим эти выражения обратно в наше равенство:

$\vec{OM} - \vec{ON} = \frac{1}{2}(-\vec{AD} - \vec{BC})$

Вынеся знак минус за скобки, получаем окончательный результат:

$\vec{OM} - \vec{ON} = -\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Ответ: $-\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

584. Упростите:

а)

Чтобы упростить выражение $2(\vec{m} + \vec{n}) - 3(4\vec{m} - \vec{n}) + \vec{m}$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, используя дистрибутивный закон умножения относительно сложения векторов и правила действий с векторами.

1. Раскроем скобки. Умножим числовые коэффициенты на каждый вектор в скобках:

$2(\vec{m} + \vec{n}) = 2\vec{m} + 2\vec{n}$

$-3(4\vec{m} - \vec{n}) = (-3) \cdot 4\vec{m} + (-3) \cdot (-\vec{n}) = -12\vec{m} + 3\vec{n}$

2. Подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 12\vec{m} + 3\vec{n} + \vec{m}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми векторами):

$(2\vec{m} - 12\vec{m} + \vec{m}) + (2\vec{n} + 3\vec{n})$

4. Вынесем общие векторные множители за скобки и выполним действия с их коэффициентами:

$(2 - 12 + 1)\vec{m} + (2 + 3)\vec{n} = -9\vec{m} + 5\vec{n}$

Ответ: $-9\vec{m} + 5\vec{n}$

б)

Для упрощения выражения $\vec{m} - 3(\vec{n} - 2\vec{m} + \vec{p}) + 5(\vec{p} - 4\vec{m})$ выполним аналогичные действия.

1. Раскроем скобки:

$-3(\vec{n} - 2\vec{m} + \vec{p}) = -3\vec{n} + 6\vec{m} - 3\vec{p}$

$5(\vec{p} - 4\vec{m}) = 5\vec{p} - 20\vec{m}$

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$\vec{m} - 3\vec{n} + 6\vec{m} - 3\vec{p} + 5\vec{p} - 20\vec{m}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые по векторам $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{p}$:

$(\vec{m} + 6\vec{m} - 20\vec{m}) + (-3\vec{n}) + (-3\vec{p} + 5\vec{p})$

4. Выполним действия с коэффициентами:

$(1 + 6 - 20)\vec{m} - 3\vec{n} + (-3 + 5)\vec{p} = -13\vec{m} - 3\vec{n} + 2\vec{p}$

Ответ: $-13\vec{m} - 3\vec{n} + 2\vec{p}$

585. Докажите, что в параллелепипеде

Для доказательства данного векторного равенства введём три неколлинеарных вектора, соответствующие рёбрам параллелепипеда, выходящим из одной вершины, например, из вершины A: $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AA_1}$.

Выразим векторы из доказываемого равенства через этот базис. Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является главной диагональю параллелепипеда. По правилу параллелепипеда для сложения векторов он равен сумме трёх базисных векторов: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Далее выразим вектор $\overrightarrow{B_1D}$. Сделаем это, используя правило разности векторов, представив их как векторы, отложенные от общего начала A: $\overrightarrow{B_1D} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB_1}$. Вектор $\overrightarrow{AD}$ по определению равен $\vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{AB_1}$ является диагональю грани $AA_1B_1B$, и по правилу параллелограмма: $\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$. Подставив эти выражения, получим: $\overrightarrow{B_1D} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{c}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Теперь найдём сумму векторов в левой части исходного равенства: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми базисными векторами: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = (\vec{a} - \vec{a}) + (\vec{b} + \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{c}) = 2\vec{b}$.

Наконец, выразим правую часть равенства, $2\overrightarrow{BC}$, через наш базис. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны, значит $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. По нашему определению, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$, следовательно, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Таким образом, $2\overrightarrow{BC} = 2\vec{b}$.

Мы получили, что левая часть равенства $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D}$ равна $2\vec{b}$, и правая часть $2\overrightarrow{BC}$ также равна $2\vec{b}$. Следовательно, равенство $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = 2\overrightarrow{BC}$ верно. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{B_1D} = 2\overrightarrow{BC}$ доказано.