Страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

610. Точки А₁, В₁, C₁ и М₁ — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 172). Докажите, что ММ₁ = $\frac{1}{3}$(AA₁ + BB₁ + CC₁). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью α?

Докажите, что $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$.

По условию, отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $MM_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, все эти отрезки параллельны друг другу.

1. Рассмотрим медиану $BK$ треугольника $ABC$, где $K$ — середина стороны $AC$. Точка $M$ — точка пересечения медиан, поэтому она лежит на медиане $BK$ и делит её в отношении $BM : MK = 2:1$.

2. Проведём перпендикуляр $KK_1$ к плоскости $\alpha$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, то точки $A, C, C_1, A_1$ лежат в одной плоскости, образуя трапецию $ACC_1A_1$ (или прямоугольник, если $AA_1 = CC_1$). Так как $K$ — середина $AC$, то по теореме Фалеса её проекция $K_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$. Отрезок $KK_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований:
$KK_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

3. Теперь рассмотрим плоскость, в которой лежат параллельные отрезки $BB_1$ и $KK_1$. Эта плоскость образует трапецию $BKK_1B_1$. Точка $M$ лежит на отрезке $BK$, а её проекция $M_1$ лежит на отрезке $B_1K_1$. Отрезок $MM_1$ параллелен основаниям трапеции $BB_1$ и $KK_1$.

4. Используем свойство отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку, которая делит боковую сторону в заданном отношении. Так как точка $M$ делит сторону $BK$ в отношении $BM:MK=2:1$, то для длины отрезка $MM_1$ справедлива формула:
$MM_1 = \frac{1 \cdot BB_1 + 2 \cdot KK_1}{1+2} = \frac{BB_1 + 2KK_1}{3}$

5. Подставим в эту формулу выражение для $KK_1$ из пункта 2:
$MM_1 = \frac{BB_1 + 2 \cdot \frac{AA_1 + CC_1}{2}}{3} = \frac{BB_1 + AA_1 + CC_1}{3}$
Таким образом, мы доказали, что $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью ??

Если какие-то стороны треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$, это означает, что не все вершины треугольника находятся по одну сторону от плоскости.

Введём систему координат. Пусть плоскость $\alpha$ является плоскостью $Oxy$, то есть её уравнение $z=0$. Тогда высоты точек $A, B, C$ над этой плоскостью будут их $z$-координатами $z_A, z_B, z_C$. Длины перпендикуляров $AA_1, BB_1, CC_1$ равны модулям соответствующих координат: $AA_1 = |z_A|$, $BB_1 = |z_B|$, $CC_1 = |z_C|$.

Точка $M$ — центроид треугольника $ABC$, её координаты являются средним арифметическим координат вершин:
$M = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right)$

Длина перпендикуляра $MM_1$ равна модулю $z$-координаты точки $M$:
$MM_1 = \left| \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right| = \frac{1}{3}|z_A+z_B+z_C|$

Тогда исходное равенство $MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)$ в координатах примет вид:
$\frac{1}{3}|z_A+z_B+z_C| = \frac{1}{3}(|z_A| + |z_B| + |z_C|)$
$|z_A+z_B+z_C| = |z_A| + |z_B| + |z_C|$

Это равенство (вариант неравенства треугольника для модулей) выполняется тогда и только тогда, когда все числа $z_A, z_B, z_C$ имеют одинаковый знак (или некоторые из них равны нулю). Это означает, что все вершины треугольника $A, B, C$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$ (или на самой плоскости).

Если же стороны треугольника пересекают плоскость $\alpha$, то некоторые вершины будут находиться по одну сторону (например, $z_A > 0$), а некоторые — по другую (например, $z_C < 0$). В этом случае знаки координат будут разными, и равенство, как правило, нарушается. Например, пусть $z_A = 3, z_B = 6, z_C = -3$.
Тогда левая часть: $|3+6-3| = |6| = 6$.
Правая часть: $|3|+|6|+|-3| = 3+6+3 = 12$.
Поскольку $6 \neq 12$, равенство не выполняется.

Ответ: Нет, в общем случае равенство не останется верным, если стороны треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$.

611. Отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что MN ‹ $\frac{1}{2}$(AC + BD).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем в рассмотрение радиус-векторы точек A, B, C, D, отложенные от произвольного начала координат O. Обозначим их соответственно как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$.

По условию, точка M является серединой отрезка AB. Радиус-вектор точки M, обозначенный как $\vec{m}$, можно выразить через радиус-векторы ее концов:$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Аналогично, точка N является серединой отрезка CD, поэтому ее радиус-вектор $\vec{n}$ равен:$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем вектор $\vec{MN}$, который соединяет точки M и N. Он равен разности радиус-векторов его конца и начала:$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$

Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b}))$

Учитывая, что $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$, получаем выражение для вектора $\vec{MN}$:$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$

Длина отрезка MN есть модуль вектора $\vec{MN}$:$MN = |\vec{MN}| = \left|\frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})\right| = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Теперь применим неравенство треугольника для векторов, которое гласит, что модуль суммы двух векторов не превосходит сумму их модулей: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$.Применим это свойство к векторам $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:$|\vec{AC} + \vec{BD}| \le |\vec{AC}| + |\vec{BD}|$

Отсюда следует неравенство для длины отрезка MN:$MN = \frac{1}{2}|\vec{AC} + \vec{BD}| \le \frac{1}{2}(|\vec{AC}| + |\vec{BD}|) = \frac{1}{2}(AC + BD)$

Равенство в неравенстве треугольника для векторов, $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$, достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены. В нашем случае это означало бы, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ должны быть коллинеарны.

Коллинеарность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ означает, что прямые AC и BD параллельны. Если прямые AC и BD параллельны, то четыре точки A, C, B, D лежат в одной плоскости.

Однако по условию задачи отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости. Это означает, что точки A, B, C, D не копланарны. Следовательно, прямые AC и BD не могут быть параллельными, а векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не являются коллинеарными.

Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны, неравенство треугольника для них будет строгим:$|\vec{AC} + \vec{BD}| < |\vec{AC}| + |\vec{BD}|$

А значит, и для длины отрезка MN неравенство также будет строгим:$MN < \frac{1}{2}(AC + BD)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

612. В тетраэдре ABCD точки K и М — середины рёбер AB и CD. Докажите, что середины отрезков KС, KD, МА и MB являются вершинами некоторого параллелограмма.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем обозначения:

• P — середина отрезка KC
• Q — середина отрезка KD
• R — середина отрезка MA
• S — середина отрезка MB

Пусть O — произвольная точка в пространстве (начало координат). Тогда положение любой точки X можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$. Обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра как $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OD} = \vec{d}$.

По условию, K — середина ребра AB, а M — середина ребра CD. Выразим их радиус-векторы:

$\vec{OK} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{OM} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдем радиус-векторы для точек P, Q, R и S, используя формулу для радиус-вектора середины отрезка:

$\vec{OP} = \frac{\vec{OK} + \vec{OC}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \vec{c}\right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{4}$

$\vec{OQ} = \frac{\vec{OK} + \vec{OD}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \vec{d}\right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{d}}{4}$

$\vec{OR} = \frac{\vec{OM} + \vec{OA}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} + \vec{a}\right) = \frac{2\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

$\vec{OS} = \frac{\vec{OM} + \vec{OB}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} + \vec{b}\right) = \frac{2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Чтобы доказать, что точки P, Q, R, S являются вершинами параллелограмма, достаточно показать, что середины его диагоналей совпадают. Рассмотрим четырехугольник PSQR. Его диагоналями являются отрезки PQ и SR.

Найдем радиус-вектор середины диагонали PQ. Обозначим эту точку $O_1$.

$\vec{OO_1} = \frac{\vec{OP} + \vec{OQ}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{4} + \frac{\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{d}}{4}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d}) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Найдем радиус-вектор середины диагонали SR. Обозначим эту точку $O_2$.

$\vec{OO_2} = \frac{\vec{OS} + \vec{OR}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} + \frac{2\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 2\vec{d}) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Так как радиус-векторы середин диагоналей PQ и SR равны ($\vec{OO_1} = \vec{OO_2}$), эти точки совпадают. Это означает, что диагонали четырехугольника PSQR пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Следовательно, четырехугольник PSQR является параллелограммом, а точки P, S, Q, R (середины отрезков KC, MB, KD и MA) — его вершинами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1. Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если a ↑↓ b, b ↑↓ c, то a ↑↓ c; е) существуют векторы a, b и c такие, что a и c не коллинеарны, b и c не коллинеарны, a и b коллинеарны?

а) По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Противоположно направленные векторы ($\uparrow\downarrow$) по определению являются коллинеарными, но направлены в разные стороны. Таким образом, из того, что векторы противоположно направлены, следует, что они коллинеарны. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.

б) Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть как сонаправленными ($\uparrow\uparrow$), так и противоположно направленными ($\uparrow\downarrow$). Например, векторы $\vec{a}$ и $-2\vec{a}$ коллинеарны, но противоположно направлены. Следовательно, утверждение, что любые два коллинеарных вектора сонаправлены, неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

в) По определению, два вектора равны, если они сонаправлены и их длины (модули) равны. Так как для равенства векторов требуется их сонаправленность, а любые сонаправленные векторы по определению коллинеарны, то любые два равных вектора коллинеарны. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.

г) Сонаправленные векторы ($\uparrow\uparrow$) — это векторы, которые коллинеарны и имеют одинаковое направление. Однако их длины могут быть различными. Например, векторы $\vec{a}$ и $3\vec{a}$ сонаправлены, но не равны, если $|\vec{a}| \neq 0$, так как их длины отличаются в 3 раза. Для равенства векторов необходимо также и равенство их длин. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

д) Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Это значит, что $\vec{a} = k_1\vec{b}$, где $k_1 < 0$. Аналогично, из $\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{c}$ следует, что $\vec{b} = k_2\vec{c}$, где $k_2 < 0$. Подставим второе выражение в первое: $\vec{a} = k_1(k_2\vec{c}) = (k_1 k_2)\vec{c}$. Так как $k_1 < 0$ и $k_2 < 0$, их произведение $k_1 k_2 > 0$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}$), а не противоположно направлены. Утверждение неверно.
Ответ: Нет, не справедливо.

е) Да, такие векторы существуют. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой (или на параллельных). Например, $\vec{a} = (1, 2)$ и $\vec{b} = 2\vec{a} = (2, 4)$. Теперь выберем вектор $\vec{c}$, который не коллинеарен ни $\vec{a}$, ни $\vec{b}$. Например, $\vec{c} = (1, 0)$. Вектор $\vec{c}$ не может быть выражен как $\vec{c} = k\vec{a}$ или $\vec{c} = m\vec{b}$ ни для какого числа $k$ или $m$. Таким образом, мы нашли пример векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, удовлетворяющих условию. Утверждение справедливо.
Ответ: Да, справедливо.

2. Точки А и С симметричны относительно точки О и AD = BC. Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть точка $O$ является началом координат. Тогда радиус-вектор любой точки $M$ будет равен вектору $\vec{OM}$.

Условие, что точки $A$ и $C$ симметричны относительно точки $O$, означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$. В векторной форме это можно записать как равенство, где сумма радиус-векторов точек $A$ и $C$ равна нулевому вектору:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$

Из этого следует, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Второе условие задачи — равенство векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Выразим эти векторы через радиус-векторы их начальных и конечных точек (правило разности векторов):

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Поскольку по условию $\vec{AD} = \vec{BC}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\vec{OD} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OB}$

Теперь перегруппируем члены этого равенства так, чтобы векторы, относящиеся к точкам $B$ и $D$, оказались в одной части, а к точкам $A$ и $C$ — в другой:

$\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{OC} + \vec{OA}$

Мы уже установили из первого условия, что сумма векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ равна нулевому вектору: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$. Подставим это в полученное равенство:

$\vec{OD} + \vec{OB} = \vec{0}$

Это равенство является векторным определением того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно начала координат, то есть точки $O$. Другими словами, точка $O$ является серединой отрезка $BD$.

Таким образом, мы доказали, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно точки $O$.

Ответ: Да, точки $B$ и $D$ симметричны относительно точки $O$.

3. Точки А и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

Дано, что точки $A$ и $C$ симметричны относительно прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Также дано векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Это равенство означает, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как из $\vec{AD} = \vec{BC}$ следует $\vec{D} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{B}$ (в координатах или радиус-векторах), что эквивалентно $\vec{B} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{D}$, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Для анализа задачи введем декартову систему координат. Пусть прямая $a$ совпадает с осью ординат $Oy$. Тогда, если точка $A$ имеет координаты $(-p, q)$, то симметричная ей точка $C$ будет иметь координаты $(p, q)$ для некоторых $p$ и $q$, где $p \neq 0$.Пусть точка $B$ имеет произвольные координаты $(x_B, y_B)$, а точка $D$ — $(x_D, y_D)$.Из векторного равенства $\vec{AD} = \vec{BC}$ получаем равенство соответствующих координат векторов:$\vec{AD} = (x_D - (-p), y_D - q) = (x_D + p, y_D - q)$$\vec{BC} = (p - x_B, q - y_B)$Приравнивая координаты, получаем систему уравнений:

1. $x_D + p = p - x_B \implies x_D = -x_B$
2. $y_D - q = q - y_B \implies y_D + y_B = 2q$

Эти два соотношения должны выполняться для любых точек $A, B, C, D$, удовлетворяющих условию задачи.

а) могут ли точки $B$ и $D$ быть симметричными относительно прямой $a$?

Точки $B(x_B, y_B)$ и $D(x_D, y_D)$ симметричны относительно прямой $a$ (оси $Oy$), если их координаты связаны соотношениями: $x_D = -x_B$ и $y_D = y_B$.

Первое условие, $x_D = -x_B$, как мы показали выше, всегда следует из начальных условий задачи ($\vec{AD} = \vec{BC}$ и симметрии точек $A, C$ относительно $a$).

Рассмотрим второе условие симметрии, $y_D = y_B$. Подставим его в соотношение $y_D + y_B = 2q$, которое мы вывели из векторного равенства:$y_B + y_B = 2q$$2y_B = 2q$$y_B = q$

Таким образом, чтобы точки $B$ и $D$ были симметричны относительно прямой $a$, необходимо и достаточно, чтобы ордината точки $B$ была равна $q$. Так как $y_D = y_B$, то и ордината точки $D$ также будет равна $q$. Ординаты точек $A$ и $C$ тоже равны $q$. Следовательно, все четыре точки $A, B, C, D$ должны лежать на одной прямой $y=q$, которая перпендикулярна оси симметрии $a$.

Приведем пример. Пусть прямая $a$ — это ось $Oy$.Возьмем $A(-2, 5)$ и $C(2, 5)$. Они симметричны относительно $a$.Возьмем $B(3, 5)$ и $D(-3, 5)$. Они также симметричны относительно $a$.Проверим условие $\vec{AD} = \vec{BC}$:$\vec{AD} = (-3 - (-2), 5-5) = (-1, 0)$$\vec{BC} = (2 - 3, 5-5) = (-1, 0)$Условие выполняется. Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: Да, могут.

б) могут ли точки $B$ и $D$ быть несимметричными относительно прямой $a$?

Точки $B(x_B, y_B)$ и $D(x_D, y_D)$ будут несимметричны относительно прямой $a$ (оси $Oy$), если не выполняется хотя бы одно из условий симметрии ($x_D = -x_B$ и $y_D = y_B$).

Как мы установили, условие $x_D = -x_B$ всегда выполняется. Значит, для несимметричности точек $B$ и $D$ необходимо и достаточно, чтобы не выполнялось условие $y_D = y_B$, то есть $y_D \neq y_B$.

Из соотношения $y_D + y_B = 2q$ следует, что $y_D = 2q - y_B$. Условие $y_D \neq y_B$ будет выполняться, если $2q - y_B \neq y_B$, что эквивалентно $2q \neq 2y_B$, или $q \neq y_B$.

Это означает, что если выбрать точку $B$ так, чтобы ее ордината не была равна ординате точек $A$ и $C$ (то есть точка $B$ не лежит на прямой $AC$), то точки $B$ и $D$ будут несимметричны относительно прямой $a$.

Приведем пример. Пусть прямая $a$ — это ось $Oy$.Возьмем $A(-2, 5)$ и $C(2, 5)$. (Здесь $p=2, q=5$).Выберем точку $B$ с ординатой, не равной 5. Например, $B(3, 1)$.Тогда координаты точки $D$ должны быть:$x_D = -x_B = -3$$y_D = 2q - y_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$Итак, $D(-3, 9)$.Проверим условие $\vec{AD} = \vec{BC}$:$\vec{AD} = (-3 - (-2), 9-5) = (-1, 4)$$\vec{BC} = (2 - 3, 5-1) = (-1, 4)$Условие выполняется.При этом точки $B(3, 1)$ и $D(-3, 9)$ очевидно несимметричны относительно оси $Oy$, так как точка, симметричная $B$, это $B'(-3, 1)$, что не совпадает с $D$.

Ответ: Да, могут.

4. Точки А и С, а также точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы AB и CD быть: а) равными; б) неравными?

а)

Да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ могут быть равными. Это произойдет в том случае, если прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна плоскости симметрии $\alpha$ (или лежит в ней).

Докажем это. Введем декартову систему координат так, чтобы плоскость $\alpha$ совпадала с координатной плоскостью $Oxy$. Тогда уравнение плоскости $\alpha$ будет $z=0$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$. Поскольку точка $C$ симметрична точке $A$ относительно плоскости $z=0$, ее координаты будут $(x_A, y_A, -z_A)$.

Аналогично, пусть точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B)$. Тогда симметричная ей точка $D$ будет иметь координаты $(x_B, y_B, -z_B)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

$\vec{CD} = (x_B - x_A, y_B - y_A, -z_B - (-z_A)) = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_A - z_B)$

Векторы равны, если равны их соответствующие координаты. Координаты по осям $x$ и $y$ у векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ всегда совпадают. Для равенства векторов необходимо, чтобы совпадали и их координаты по оси $z$:

$z_B - z_A = z_A - z_B$

$2z_B = 2z_A$

$z_A = z_B$

Условие $z_A = z_B$ означает, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$ и по одну сторону от нее (или на самой плоскости). Это и есть условие параллельности прямой $AB$ плоскости $\alpha$ (если точки $A$ и $B$ не совпадают). Если же точки лежат на самой плоскости $\alpha$, то $z_A = z_B = 0$, и условие также выполняется.

Ответ: Да, могут.

б)

Да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ могут быть неравными. Исходя из решения пункта а), это произойдет в том случае, если прямая $AB$ не параллельна плоскости симметрии $\alpha$.

Используем ту же систему координат, что и в пункте а). Векторы имеют координаты:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

$\vec{CD} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_A - z_B)$

Если прямая $AB$ не параллельна плоскости $\alpha$, то точки $A$ и $B$ находятся на разном расстоянии от плоскости $\alpha$. В нашей системе координат это означает, что $z_A \neq z_B$.

В этом случае третья координата векторов не будет равна:

$z_B - z_A \neq z_A - z_B$ (так как это равенство, как мы показали выше, эквивалентно $z_A = z_B$).

Поскольку у векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не совпадают третьи координаты, сами векторы не равны.

Например, пусть плоскость $\alpha$ — это $z=0$. Возьмем точки $A(0, 0, 2)$ и $B(1, 1, 1)$. Прямая $AB$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда симметричные им точки будут $C(0, 0, -2)$ и $D(1, 1, -1)$.

$\vec{AB} = (1-0, 1-0, 1-2) = (1, 1, -1)$

$\vec{CD} = (1-0, 1-0, -1-(-2)) = (1, 1, 1)$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не равны.

Ответ: Да, могут.

5. Известно, что векторы a и a + b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы a и b?

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). Иными словами, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{y} = k \vec{x}$. Также стоит помнить, что нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению коллинеарен любому вектору.

По условию задачи дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Вектор $\vec{a}$ не является нулевым вектором ($\vec{a} \neq \vec{0}$).
Из условия коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ следует, что существует такое число $k$, что:
$\vec{a} + \vec{b} = k \vec{a}$
Выразим из этого равенства вектор $\vec{b}$:
$\vec{b} = k \vec{a} - \vec{a}$
Вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:
$\vec{b} = (k - 1) \vec{a}$
Обозначим выражение в скобках как $m = k - 1$. Так как $k$ — это число, то $m$ — также число. В результате мы получаем:
$\vec{b} = m \vec{a}$
Это равенство по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

2. Вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$).
В этом случае условие, что $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны, превращается в условие, что $\vec{0}$ и $\vec{0} + \vec{b}$ (то есть $\vec{b}$) коллинеарны. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору, поэтому это условие выполняется для любого вектора $\vec{b}$.
Теперь ответим на вопрос, коллинеарны ли в этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Так как $\vec{a} = \vec{0}$, то он коллинеарен любому вектору $\vec{b}$ по определению.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях из того, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны, следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

Ответ: да, коллинеарны.

6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Да, может.

Длина суммы двух векторов может быть меньше длины каждого из векторов-слагаемых в том случае, если угол между этими векторами является тупым (т.е. больше 90° и меньше или равен 180°). Рассмотрим это подробнее.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Их сумма — это вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Длину вектора будем обозначать как $|\vec{v}|$. Нам нужно выяснить, возможно ли выполнение неравенств $|\vec{c}| < |\vec{a}|$ и $|\vec{c}| < |\vec{b}|$ одновременно.

Квадрат длины суммы векторов можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Чтобы длина вектора суммы $|\vec{a} + \vec{b}|$ была меньше, чем $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$, значение слагаемого $2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$ должно быть отрицательным и достаточно большим по модулю. Это происходит, когда $\cos\alpha < 0$, что соответствует тупому углу $\alpha$ ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). Если векторы направлены в противоположные стороны, они "компенсируют" друг друга, и их сумма оказывается короче.

Пример:

Рассмотрим два вектора на координатной плоскости:

$\vec{a} = (10, 0)$ и $\vec{b} = (-7, 0)$.

Эти векторы коллинеарны и противоположно направлены (угол между ними $\alpha = 180^\circ$).

Найдем их длины:

$|\vec{a}| = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = 7$

Теперь найдем их сумму $\vec{c}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (10, 0) + (-7, 0) = (10-7, 0+0) = (3, 0)$

Найдем длину вектора суммы:

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$

Сравним длины:

$|\vec{c}| < |\vec{a}|$, так как $3 < 10$.

$|\vec{c}| < |\vec{b}|$, так как $3 < 7$.

Оба условия выполняются. Таким образом, длина суммы двух векторов может быть меньше длины каждого из слагаемых.

Геометрически это можно представить с помощью правила треугольника. Если мы отложим вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$, и при этом вектор $\vec{b}$ будет направлен "назад" (в сторону начала вектора $\vec{a}$), то замыкающий вектор суммы $\vec{c}$ окажется коротким.

Ответ: Да, может, если угол между векторами тупой.

7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, длина суммы нескольких ненулевых векторов может быть равной сумме длин этих векторов. Это возможно тогда и только тогда, когда все векторы-слагаемые сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление.

Это следует из общего правила, известного как неравенство треугольника для векторов (или обобщенное неравенство треугольника). Для любых векторов $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \ldots, \vec{a_n}$ всегда справедливо неравенство:
$|\vec{a_1} + \vec{a_2} + \ldots + \vec{a_n}| \le |\vec{a_1}| + |\vec{a_2}| + \ldots + |\vec{a_n}|$
Здесь $|\vec{a}|$ обозначает длину (модуль) вектора $\vec{a}$.

Равенство в этом выражении достигается только в одном случае: когда все векторы $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \ldots, \vec{a_n}$ сонаправлены.

Геометрически это можно объяснить следующим образом. При сложении векторов по правилу многоугольника (последовательно откладывая один вектор от конца другого) мы получаем ломаную линию. Вектор-сумма соединяет начало первого вектора с концом последнего.

• Если все векторы сонаправлены, они выстраиваются вдоль одной прямой в одном направлении. В этом случае ломаная линия "вырождается" в прямой отрезок, и длина вектора-суммы будет в точности равна сумме длин векторов-слагаемых.
• Если же хотя бы два вектора не сонаправлены, то они образуют "излом", и ломаная линия не будет прямым отрезком. В этом случае длина замыкающего вектора-суммы будет строго меньше, чем общая длина ломаной линии (сумма длин векторов).

Ответ: Да, может. Это происходит в том и только в том случае, если все складываемые ненулевые векторы сонаправлены (имеют одинаковое направление).

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, может. Это возможно в том случае, если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Рассмотрим этот вопрос с точки зрения алгебры векторов. Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Нам нужно проверить, при каких условиях выполняется равенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая эквивалентности:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Распишем левую часть, используя свойство скалярного произведения векторов $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Теперь распишем правую часть:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Приравняем полученные выражения:

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях:

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделим обе части на -2:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Вспомним определение скалярного произведения через угол между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставим это в наше равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Поскольку векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$\cos\theta = -1$

Это равенство справедливо только в том случае, когда угол $\theta$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Угол в $180^\circ$ между векторами означает, что они лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в противоположные стороны.

Геометрически это можно представить так: если вектор $\vec{a}$ направлен вправо, а вектор $\vec{b}$ — влево, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, и длина результирующего вектора будет равна сумме длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Да, может, если векторы коллинеарны и противоположно направлены (угол между ними равен $180^\circ$).