Номер 8, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 8, страница 156.
№8 (с. 156)
Условие. №8 (с. 156)
скриншот условия

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?
Решение 2. №8 (с. 156)

Решение 6. №8 (с. 156)
Да, может. Это возможно в том случае, если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Рассмотрим этот вопрос с точки зрения алгебры векторов. Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Нам нужно проверить, при каких условиях выполняется равенство:
$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая эквивалентности:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$
Распишем левую часть, используя свойство скалярного произведения векторов $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Теперь распишем правую часть:
$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
Приравняем полученные выражения:
$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$
Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях:
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$
Разделим обе части на -2:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$
Вспомним определение скалярного произведения через угол между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Подставим это в наше равенство:
$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$
Поскольку векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}||\vec{b}|$:
$\cos\theta = -1$
Это равенство справедливо только в том случае, когда угол $\theta$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Угол в $180^\circ$ между векторами означает, что они лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в противоположные стороны.
Геометрически это можно представить так: если вектор $\vec{a}$ направлен вправо, а вектор $\vec{b}$ — влево, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, и длина результирующего вектора будет равна сумме длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Ответ: Да, может, если векторы коллинеарны и противоположно направлены (угол между ними равен $180^\circ$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 156 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №8 (с. 156), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.