Номер 8, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 8, страница 156.

Условие.

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Решение 2.

Решение 6.

Да, может. Это возможно в том случае, если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Рассмотрим этот вопрос с точки зрения алгебры векторов. Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Нам нужно проверить, при каких условиях выполняется равенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая эквивалентности:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Распишем левую часть, используя свойство скалярного произведения векторов $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Теперь распишем правую часть:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Приравняем полученные выражения:

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях:

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделим обе части на -2:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Вспомним определение скалярного произведения через угол между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставим это в наше равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Поскольку векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$\cos\theta = -1$

Это равенство справедливо только в том случае, когда угол $\theta$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Угол в $180^\circ$ между векторами означает, что они лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в противоположные стороны.

Геометрически это можно представить так: если вектор $\vec{a}$ направлен вправо, а вектор $\vec{b}$ — влево, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором $\vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, и длина результирующего вектора будет равна сумме длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Да, может, если векторы коллинеарны и противоположно направлены (угол между ними равен $180^\circ$).