Номер 13, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Компланарны ли векторы:

а) Векторы $\vec{a}, \vec{b}, 2\vec{a}, 3\vec{b}$.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это означает, что если отложить все векторы от одной точки, они будут располагаться в одной плоскости.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (т.е. $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ для некоторого числа $k$). Вектор $2\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, а вектор $3\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Следовательно, все четыре вектора коллинеарны друг другу. Набор коллинеарных векторов всегда можно разместить в одной плоскости, поэтому они компланарны.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. В этом случае они задают плоскость. Любой вектор, который является их линейной комбинацией (т.е. имеет вид $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$), лежит в этой же плоскости. Проверим, являются ли векторы $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{a}$ можно представить как $1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.
Вектор $\vec{b}$ можно представить как $0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.
Вектор $2\vec{a}$ можно представить как $2 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$. Это линейная комбинация $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $3\vec{b}$ можно представить как $0 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{b}$. Это также линейная комбинация $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Поскольку все четыре вектора ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$) являются линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, все они лежат в одной плоскости.

В обоих случаях векторы являются компланарными.

Ответ: да, векторы компланарны.

б) Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}$.

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту.

1. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (т.е. $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$), то их линейные комбинации также будут им коллинеарны. Вектор $\vec{a}+\vec{b} = k\vec{b} + \vec{b} = (k+1)\vec{b}$ и вектор $\vec{a}-\vec{b} = k\vec{b} - \vec{b} = (k-1)\vec{b}$ коллинеарны вектору $\vec{b}$. Значит, все четыре вектора коллинеарны и, следовательно, компланарны.

2. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они задают плоскость. Проверим, лежат ли векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ в этой плоскости. Для этого они должны быть линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Вектор $\vec{a}+\vec{b}$ по определению является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $1$ и $1$.
Вектор $\vec{a}-\vec{b}$ также является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $1$ и $-1$.
Геометрически, если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки, то векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ будут диагоналями параллелограмма, построенного на этих векторах. Очевидно, что диагонали лежат в той же плоскости, что и стороны параллелограмма.

Таким образом, все четыре вектора — $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ — являются линейными комбинациями векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и, следовательно, лежат в одной плоскости. Они компланарны.

Ответ: да, векторы компланарны.