Номер 615, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Компланарные векторы, дополнительные задачи. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 615, страница 157.

615. Докажите, что разность векторов a и b выражается формулой a − b = a + (−b).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением разности векторов.

По определению, разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ даёт вектор $\vec{a}$. Это можно записать в виде равенства:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$

Наша цель — показать, что вектор $\vec{c}$, равный разности $\vec{a} - \vec{b}$, также равен сумме вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$. Вектор $(-\vec{b})$ является противоположным вектору $\vec{b}$.

Рассмотрим правую часть доказываемой формулы: $\vec{a} + (-\vec{b})$. Обозначим этот вектор как $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Чтобы доказать, что $\vec{d} = \vec{c}$, то есть что $\vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$, нам нужно показать, что вектор $\vec{d}$ удовлетворяет определению разности. Иными словами, нужно проверить, что $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$.

Прибавим к вектору $\vec{d}$ вектор $\vec{b}$:

$\vec{d} + \vec{b} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя сочетательное (ассоциативное) свойство сложения векторов, мы можем перегруппировать слагаемые:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов $(-\vec{b})$ и $\vec{b}$ по определению равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$(-\vec{b}) + \vec{b} = \vec{0}$

Подставим это в наше выражение:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a} + \vec{0}$

Сложение любого вектора с нулевым вектором даёт исходный вектор:

$\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$

Мы получили, что вектор $\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$ в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это в точности соответствует определению разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Следовательно, вектор $\vec{d}$ и есть разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ доказано на основе определения разности векторов и свойств сложения векторов.