Номер 617, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

617. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите сумму векторов:

а) Найдём сумму векторов $ \vec{AB} + \vec{B_1C_1} + \vec{DD_1} + \vec{CD} $.

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны. Векторы, соответствующие противоположным сторонам грани-параллелограмма, также связаны между собой.

1. Векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $ являются противоположными сторонами параллелограмма $ABCD$, поэтому $ \vec{AB} = \vec{DC} $. Отсюда следует, что $ \vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB} $ или $ \vec{CD} = \vec{BA} $.

2. Векторы $ \vec{B_1C_1} $ и $ \vec{AD} $ равны, так как $ \vec{B_1C_1} = \vec{BC} $ и $ \vec{BC} = \vec{AD} $.

3. Векторы $ \vec{DD_1} $ и $ \vec{AA_1} $ равны, так как они соответствуют параллельным боковым рёбрам.

Подставим эти соотношения в исходную сумму:

$ \vec{AB} + \vec{B_1C_1} + \vec{DD_1} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} + \vec{BA} $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1}) $

Сумма противоположных векторов $ \vec{AB} + \vec{BA} $ равна нулевому вектору $ \vec{0} $.

Выражение упрощается до $ \vec{AD} + \vec{AA_1} $.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, приложенных к одной точке, сумма векторов $ \vec{AD} $ и $ \vec{AA_1} $ (стороны грани $ADD_1A_1$) равна вектору диагонали этой грани, исходящей из той же точки: $ \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AD_1} $.

Ответ: $ \vec{AD_1} $

б) Найдём сумму векторов $ \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CB_1} + \vec{BC} + \vec{A_1A} $.

Сначала найдём пары векторов, которые в сумме дают ноль. В параллелепипеде боковые рёбра равны и параллельны, поэтому $ \vec{DD_1} = \vec{AA_1} $. Вектор $ \vec{A_1A} $ является противоположным вектору $ \vec{AA_1} $, то есть $ \vec{A_1A} = -\vec{AA_1} $.

Таким образом, их сумма:

$ \vec{DD_1} + \vec{A_1A} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1}) = \vec{0} $.

После этого исходное выражение упрощается до:

$ \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1} + \vec{BC} $

Переставим слагаемые, чтобы воспользоваться правилом многоугольника (или правилом треугольника/цепным правилом) для последовательного сложения векторов:

$ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB_1} + \vec{B_1C_1} $

Сложим векторы попарно:

$ (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CB_1} + \vec{B_1C_1}) $

По правилу треугольника:

$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

$ \vec{CB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{CC_1} $

Теперь сумма имеет вид: $ \vec{AC} + \vec{CC_1} $.

Ещё раз применив правило треугольника, получаем:

$ \vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1} $

Это вектор главной диагонали параллелепипеда.

Ответ: $ \vec{AC_1} $

в) Найдём сумму векторов $ \vec{BA} + \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{DC} + \vec{DA} $.

Заметим, что все точки A, B, C, D лежат в одной плоскости и образуют основание параллелепипеда, которое является параллелограммом.

Применим правило треугольника для сложения первых двух векторов:

$ \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC} $

Подставим этот результат в исходное выражение:

$ \vec{BC} + \vec{CB} + \vec{DC} + \vec{DA} $

Векторы $ \vec{BC} $ и $ \vec{CB} $ противоположны, их сумма равна нулевому вектору:

$ \vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0} $

Таким образом, выражение сводится к сумме $ \vec{DC} + \vec{DA} $.

Для нахождения этой суммы воспользуемся правилом параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ сумма векторов, соответствующих сторонам, исходящим из одной вершины, равна вектору диагонали, исходящей из той же вершины. В нашем случае векторы $ \vec{DA} $ и $ \vec{DC} $ исходят из вершины D. Их суммой будет вектор диагонали $ \vec{DB} $.

Математически это можно доказать так: $ \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} $. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $ \vec{AB} = \vec{DC} $. Заменив, получаем $ \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC} $.

Ответ: $ \vec{DB} $