Номер 614, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

614. На рисунке 173 изображён правильный октаэдр. Докажите, что:

а) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}$ воспользуемся свойствами векторов в правильном октаэдре. Правильный октаэдр — это центрально-симметричная фигура. Его центр (точка пересечения диагоналей) является центром симметрии. Это означает, что для любой вершины существует противоположная, симметричная ей относительно центра. В данном октаэдре вершина A противоположна вершине F, а вершина B — вершине D. Из центральной симметрии следует, что вектор, соединяющий две вершины, равен вектору, соединяющему противоположные им вершины в том же порядке. Так, для вектора $\vec{FB}$ (от F к B) соответствующим будет вектор от противоположной вершины D к противоположной вершине A, то есть $\vec{DA}$. Таким образом, имеем векторное равенство: $\vec{FB} = \vec{DA}$. Теперь подставим это в левую часть исходного выражения: $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{AB} + \vec{DA}$ Используя коммутативное свойство сложения векторов (возможность менять слагаемые местами), получим: $\vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DA} + \vec{AB}$ Согласно правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AB}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (D) с концом второго (B): $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$ Мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество $\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}$ доказано. Ответ:

б) Для доказательства равенства $\vec{AC} - \vec{CF} = \vec{EC}$ преобразуем его. Замена вычитания вектора на сложение противоположного вектора дает: $\vec{AC} + (-\vec{CF}) = \vec{EC}$. Так как $-\vec{CF} = \vec{FC}$, равенство принимает вид $\vec{AC} + \vec{FC} = \vec{EC}$. Можно пойти другим путем и перенести вектор $\vec{CF}$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $\vec{AC} = \vec{EC} + \vec{CF}$ Теперь применим правило треугольника к правой части. Сумма векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ — это вектор, идущий из начала первого вектора (E) в конец второго (F): $\vec{EC} + \vec{CF} = \vec{EF}$ Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству: $\vec{AC} = \vec{EF}$ Докажем справедливость этого равенства для правильного октаэдра. Как и в пункте а), воспользуемся центральной симметрией. Вершина A противоположна вершине F, а вершина C — вершине E. Следовательно, вектор, направленный из A в C, равен вектору, направленному из противоположной C вершине E в противоположную A вершину F. То есть, $\vec{AC} = \vec{EF}$. Поскольку мы свели исходное тождество к верному равенству, тождество доказано. Ответ:

в) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}$ сгруппируем векторы в левой части следующим образом: $(\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE})$ Рассмотрим основание BCDE. В правильном октаэдре это основание является квадратом. Диагонали квадрата (BD и CE) пересекаются в своей середине. Эта точка пересечения также является центром всего октаэдра. Обозначим эту точку O. Таким образом, O — середина отрезка BD и середина отрезка CE. Рассмотрим сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$. В треугольнике ABD отрезок AO является медианой, так как O — середина стороны BD. По правилу сложения векторов (которое для данного случая известно как правило медианы), сумма векторов, выходящих из одной вершины треугольника к двум другим, равна удвоенному вектору медианы, проведенной из этой же вершины: $\vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{AO}$ Аналогично, в треугольнике ACE отрезок AO является медианой, так как O — середина стороны CE. Поэтому: $\vec{AC} + \vec{AE} = 2\vec{AO}$ Теперь подставим эти результаты в левую часть исходного равенства: $(\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE}) = 2\vec{AO} + 2\vec{AO} = 4\vec{AO}$ Теперь рассмотрим правую часть равенства: $2\vec{AF}$. Точка O, центр октаэдра, является серединой главной диагонали AF. Следовательно, вектор $\vec{AF}$ можно выразить через вектор $\vec{AO}$ следующим образом: $\vec{AF} = 2\vec{AO}$ Подставим это выражение в правую часть: $2\vec{AF} = 2(2\vec{AO}) = 4\vec{AO}$ Мы получили, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $4\vec{AO}$. Следовательно, равенство $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}$ доказано. Ответ: