Номер 613, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Компланарные векторы, дополнительные задачи. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 613, страница 157.

613. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что:

а) Докажем равенство $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}$.

В параллелепипеде $MNPQM_1N_1P_1Q_1$ основания $MNPQ$ и $M_1N_1P_1Q_1$ являются параллелограммами. Боковые грани также являются параллелограммами.

Из свойств параллелограмма $MNPQ$ следует, что векторы, лежащие на противоположных сторонах, равны: $\vec{MQ} = \vec{NP}$.

Аналогично, для параллелограмма верхнего основания $M_1N_1P_1Q_1$ имеем: $\vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1}$.

Рассмотрим боковую грань $MQQ_1M_1$. Она также является параллелограммом, поэтому $\vec{MQ} = \vec{M_1Q_1}$.

Из полученных равенств следует, что все четыре рассматриваемых вектора равны между собой: $\vec{MQ} = \vec{NP} = \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1}$.

Теперь преобразуем обе части доказываемого равенства, используя установленные соотношения.

Левая часть: $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{MQ} + \vec{MQ} = 2\vec{MQ}$.

Правая часть: $\vec{N_1P_1} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{MQ} = 2\vec{MQ}$.

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $2\vec{MQ}$, то исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}$ доказано.

б) Докажем равенство $\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}$.

Преобразуем равенство, выразив вектор $\vec{PQ}$ через остальные: $\vec{PQ} = \vec{NQ_1} - \vec{NP_1}$.

Разность векторов $\vec{NQ_1} - \vec{NP_1}$ равна сумме векторов $\vec{NQ_1} + \vec{P_1N}$.

По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов: $\vec{P_1N} + \vec{NQ_1} = \vec{P_1Q_1}$.

Следовательно, исходное равенство эквивалентно равенству $\vec{PQ} = \vec{P_1Q_1}$.

Докажем справедливость этого равенства. В параллелограмме нижнего основания $MNPQ$ имеем $\vec{PQ} = \vec{NM}$.

В параллелограмме верхнего основания $M_1N_1P_1Q_1$ имеем $\vec{P_1Q_1} = \vec{N_1M_1}$.

В боковой грани $MNN_1M_1$, которая также является параллелограммом, стороны $NM$ и $N_1M_1$ параллельны и равны, поэтому $\vec{NM} = \vec{N_1M_1}$.

Из этих векторных равенств следует, что $\vec{PQ} = \vec{NM} = \vec{N_1M_1} = \vec{P_1Q_1}$.

Таким образом, равенство $\vec{PQ} = \vec{P_1Q_1}$ доказано, что подтверждает и справедливость исходного равенства.

Ответ: Равенство $\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}$ доказано.

в) Докажем равенство $\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}$.

Используя свойство коммутативности сложения векторов, запишем левую часть равенства в виде: $\vec{QQ_1} + \vec{Q_1P_1}$.

Рассмотрим вершины параллелепипеда $Q$, $Q_1$ и $P_1$. Они образуют треугольник $QQ_1P_1$.

По правилу треугольника сложения векторов, сумма векторов $\vec{QQ_1}$ и $\vec{Q_1P_1}$, где начало второго вектора совпадает с концом первого, равна вектору, соединяющему начало первого вектора ($Q$) и конец второго ($P_1$).

Таким образом, $\vec{QQ_1} + \vec{Q_1P_1} = \vec{QP_1}$.

Мы получили тождество, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}$ доказано.