Номер 10, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

Да, длина суммы двух ненулевых векторов может быть равна длине их разности. Это происходит в том и только в том случае, если эти векторы взаимно перпендикулярны (ортогональны). Рассмотрим это утверждение с двух точек зрения: алгебраической и геометрической.

Алгебраическое доказательство

Пусть у нас есть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По условию задачи требуется проверить, возможно ли равенство:$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$Поскольку длина вектора — неотрицательная величина, мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат, не нарушая его справедливости:$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$Квадрат длины (модуля) вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к обеим частям нашего равенства:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях уравнения:$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$Перенесем все в левую часть:$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$Отсюда следует, что скалярное произведение векторов равно нулю:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними составляет $90^\circ$, то есть когда векторы перпендикулярны.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки. На этих векторах как на сторонах можно построить параллелограмм. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет совпадать с одной из диагоналей этого параллелограмма (той, что выходит из общей начальной точки векторов), а вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ — с другой диагональю.Таким образом, условие, что длина суммы векторов равна длине их разности ($|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$), геометрически означает, что диагонали построенного на них параллелограмма равны.Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. А у прямоугольника смежные стороны взаимно перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть перпендикулярны.

Пример

Возьмем два ненулевых перпендикулярных вектора на плоскости, например, $\vec{a} = \{3; 0\}$ и $\vec{b} = \{0; 4\}$.Найдем их сумму и ее длину:$\vec{a} + \vec{b} = \{3+0; 0+4\} = \{3; 4\}$$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$Найдем их разность и ее длину:$\vec{a} - \vec{b} = \{3-0; 0-4\} = \{3; -4\}$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$Длины равны, что и требовалось показать.

Ответ: да, может, если данные ненулевые векторы взаимно перпендикулярны.