Номер 3, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 6. Глава 6. Векторы в пространстве - номер 3, страница 156.

3. Точки А и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

Дано, что точки $A$ и $C$ симметричны относительно прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Также дано векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$. Это равенство означает, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как из $\vec{AD} = \vec{BC}$ следует $\vec{D} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{B}$ (в координатах или радиус-векторах), что эквивалентно $\vec{B} - \vec{A} = \vec{C} - \vec{D}$, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Для анализа задачи введем декартову систему координат. Пусть прямая $a$ совпадает с осью ординат $Oy$. Тогда, если точка $A$ имеет координаты $(-p, q)$, то симметричная ей точка $C$ будет иметь координаты $(p, q)$ для некоторых $p$ и $q$, где $p \neq 0$.Пусть точка $B$ имеет произвольные координаты $(x_B, y_B)$, а точка $D$ — $(x_D, y_D)$.Из векторного равенства $\vec{AD} = \vec{BC}$ получаем равенство соответствующих координат векторов:$\vec{AD} = (x_D - (-p), y_D - q) = (x_D + p, y_D - q)$$\vec{BC} = (p - x_B, q - y_B)$Приравнивая координаты, получаем систему уравнений:

1. $x_D + p = p - x_B \implies x_D = -x_B$
2. $y_D - q = q - y_B \implies y_D + y_B = 2q$

Эти два соотношения должны выполняться для любых точек $A, B, C, D$, удовлетворяющих условию задачи.

а) могут ли точки $B$ и $D$ быть симметричными относительно прямой $a$?

Точки $B(x_B, y_B)$ и $D(x_D, y_D)$ симметричны относительно прямой $a$ (оси $Oy$), если их координаты связаны соотношениями: $x_D = -x_B$ и $y_D = y_B$.

Первое условие, $x_D = -x_B$, как мы показали выше, всегда следует из начальных условий задачи ($\vec{AD} = \vec{BC}$ и симметрии точек $A, C$ относительно $a$).

Рассмотрим второе условие симметрии, $y_D = y_B$. Подставим его в соотношение $y_D + y_B = 2q$, которое мы вывели из векторного равенства:$y_B + y_B = 2q$$2y_B = 2q$$y_B = q$

Таким образом, чтобы точки $B$ и $D$ были симметричны относительно прямой $a$, необходимо и достаточно, чтобы ордината точки $B$ была равна $q$. Так как $y_D = y_B$, то и ордината точки $D$ также будет равна $q$. Ординаты точек $A$ и $C$ тоже равны $q$. Следовательно, все четыре точки $A, B, C, D$ должны лежать на одной прямой $y=q$, которая перпендикулярна оси симметрии $a$.

Приведем пример. Пусть прямая $a$ — это ось $Oy$.Возьмем $A(-2, 5)$ и $C(2, 5)$. Они симметричны относительно $a$.Возьмем $B(3, 5)$ и $D(-3, 5)$. Они также симметричны относительно $a$.Проверим условие $\vec{AD} = \vec{BC}$:$\vec{AD} = (-3 - (-2), 5-5) = (-1, 0)$$\vec{BC} = (2 - 3, 5-5) = (-1, 0)$Условие выполняется. Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: Да, могут.

б) могут ли точки $B$ и $D$ быть несимметричными относительно прямой $a$?

Точки $B(x_B, y_B)$ и $D(x_D, y_D)$ будут несимметричны относительно прямой $a$ (оси $Oy$), если не выполняется хотя бы одно из условий симметрии ($x_D = -x_B$ и $y_D = y_B$).

Как мы установили, условие $x_D = -x_B$ всегда выполняется. Значит, для несимметричности точек $B$ и $D$ необходимо и достаточно, чтобы не выполнялось условие $y_D = y_B$, то есть $y_D \neq y_B$.

Из соотношения $y_D + y_B = 2q$ следует, что $y_D = 2q - y_B$. Условие $y_D \neq y_B$ будет выполняться, если $2q - y_B \neq y_B$, что эквивалентно $2q \neq 2y_B$, или $q \neq y_B$.

Это означает, что если выбрать точку $B$ так, чтобы ее ордината не была равна ординате точек $A$ и $C$ (то есть точка $B$ не лежит на прямой $AC$), то точки $B$ и $D$ будут несимметричны относительно прямой $a$.

Приведем пример. Пусть прямая $a$ — это ось $Oy$.Возьмем $A(-2, 5)$ и $C(2, 5)$. (Здесь $p=2, q=5$).Выберем точку $B$ с ординатой, не равной 5. Например, $B(3, 1)$.Тогда координаты точки $D$ должны быть:$x_D = -x_B = -3$$y_D = 2q - y_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$Итак, $D(-3, 9)$.Проверим условие $\vec{AD} = \vec{BC}$:$\vec{AD} = (-3 - (-2), 9-5) = (-1, 4)$$\vec{BC} = (2 - 3, 5-1) = (-1, 4)$Условие выполняется.При этом точки $B(3, 1)$ и $D(-3, 9)$ очевидно несимметричны относительно оси $Oy$, так как точка, симметричная $B$, это $B'(-3, 1)$, что не совпадает с $D$.

Ответ: Да, могут.