Номер 6, страница 156 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Да, может.

Длина суммы двух векторов может быть меньше длины каждого из векторов-слагаемых в том случае, если угол между этими векторами является тупым (т.е. больше 90° и меньше или равен 180°). Рассмотрим это подробнее.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Их сумма — это вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Длину вектора будем обозначать как $|\vec{v}|$. Нам нужно выяснить, возможно ли выполнение неравенств $|\vec{c}| < |\vec{a}|$ и $|\vec{c}| < |\vec{b}|$ одновременно.

Квадрат длины суммы векторов можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Чтобы длина вектора суммы $|\vec{a} + \vec{b}|$ была меньше, чем $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$, значение слагаемого $2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$ должно быть отрицательным и достаточно большим по модулю. Это происходит, когда $\cos\alpha < 0$, что соответствует тупому углу $\alpha$ ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). Если векторы направлены в противоположные стороны, они "компенсируют" друг друга, и их сумма оказывается короче.

Пример:

Рассмотрим два вектора на координатной плоскости:

$\vec{a} = (10, 0)$ и $\vec{b} = (-7, 0)$.

Эти векторы коллинеарны и противоположно направлены (угол между ними $\alpha = 180^\circ$).

Найдем их длины:

$|\vec{a}| = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = 7$

Теперь найдем их сумму $\vec{c}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (10, 0) + (-7, 0) = (10-7, 0+0) = (3, 0)$

Найдем длину вектора суммы:

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$

Сравним длины:

$|\vec{c}| < |\vec{a}|$, так как $3 < 10$.

$|\vec{c}| < |\vec{b}|$, так как $3 < 7$.

Оба условия выполняются. Таким образом, длина суммы двух векторов может быть меньше длины каждого из слагаемых.

Геометрически это можно представить с помощью правила треугольника. Если мы отложим вектор $\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$, и при этом вектор $\vec{b}$ будет направлен "назад" (в сторону начала вектора $\vec{a}$), то замыкающий вектор суммы $\vec{c}$ окажется коротким.

Ответ: Да, может, если угол между векторами тупой.