Номер 12, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

12. Известно, что AB = k ⋅ CD, причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении k прямые АС и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

Для решения задачи рассмотрим векторы, определяющие прямые AC и BD, а именно $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Выразим их через векторы, данные в условии, используя правило сложения векторов (правило замкнутой ломаной) для четырехугольника ACDB:

$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{BA} = \vec{0}$

Перепишем это равенство, выразив векторы $\vec{DB}$ и $\vec{BA}$ через $\vec{BD}$ и $\vec{AB}$ соответственно:

$\vec{AC} + \vec{CD} - \vec{BD} - \vec{AB} = \vec{0}$

Теперь подставим в это равенство данное в условии соотношение $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} - \vec{BD} - k \cdot \vec{CD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{AC} - \vec{BD} + (1 - k) \cdot \vec{CD} = \vec{0}$

Отсюда получаем ключевое соотношение для векторов $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AC} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{AC}$ может быть выражен как линейная комбинация векторов $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ ($\vec{AC} = \vec{BD} + (k-1)\vec{CD}$). Это означает, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ компланарны, то есть лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Так как эти векторы имеют общие точки (например, $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ исходят из/приходят в точку C), все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Следовательно, прямые AC и BD, определённые этими точками, лежат в одной плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Они не могут быть скрещивающимися.

а) параллельными

Прямые AC и BD параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое число $m \neq 0$, что $\vec{AC} = m \cdot \vec{BD}$.

Подставим это условие в наше ключевое соотношение $\vec{AC} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$:

$m \cdot \vec{BD} - \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

$(m - 1) \cdot \vec{BD} = (k - 1) \cdot \vec{CD}$

Это векторное равенство возможно в двух случаях:

1. Векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны. Это означало бы, что точки B, C, D лежат на одной прямой. Если точки B, C, D лежат на одной прямой, то векторы $\vec{CD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует, что вектор $\vec{AB}$ также коллинеарен вектору $\vec{CD}$, а значит, и вектору $\vec{BC}$. Коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Однако это противоречит условию задачи. Следовательно, этот случай невозможен.
2. Коэффициенты при неколлинеарных векторах равны нулю. Так как векторы $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$ неколлинеарны, равенство возможно только если: $m - 1 = 0 \implies m = 1$ и $k - 1 = 0 \implies k = 1$.

Таким образом, прямые AC и BD параллельны только при $k=1$. При этом значении $k$ изначальное условие принимает вид $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это, в свою очередь, равносильно равенству $\vec{AC} = \vec{BD}$, что и означает параллельность прямых AC и BD (и равенство их длин).

Ответ: при $k = 1$.

б) пересекающимися

Как было установлено ранее, прямые AC и BD всегда лежат в одной плоскости. Прямые в плоскости пересекаются, если они не параллельны.

Из пункта а) мы знаем, что прямые параллельны только при $k=1$. Следовательно, они будут пересекаться при всех остальных значениях $k$.

Необходимо также учесть, что по условию точки A, B, C не лежат на одной прямой. Это подразумевает, что A, B, C — различные точки, и вектор $\vec{AB} \neq \vec{0}$. Из равенства $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует, что $k \neq 0$ и $\vec{CD} \neq \vec{0}$ (то есть точка C не совпадает с D).

Таким образом, прямые AC и BD пересекаются при любом значении $k$, кроме $k=1$ (случай параллельности) и $k=0$ (случай вырождения вектора $\vec{AB}$).

Ответ: при $k \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$, то есть при $k \ne 1$ и $k \ne 0$.

Могут ли прямые AC и BD быть скрещивающимися?

Как было показано в начальном анализе, из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ следует компланарность векторов $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{CD}$, а значит и компланарность точек A, B, C, D. То есть все четыре точки лежат в одной плоскости. Прямые AC и BD, проходящие через эти точки, также лежат в этой же плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, не могут быть скрещивающимися. Они могут только пересекаться или быть параллельными.

Ответ: нет, не могут.