Номер 616, страница 157 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

616. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:

а)

Чтобы найти сумму векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$, воспользуемся правилом многоугольника (или правилом треугольника) для сложения векторов. Это правило заключается в последовательном сложении векторов, где начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего.

1. Сначала сложим первые два вектора: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$. По правилу треугольника, их сумма — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (A) и заканчивается в конечной точке второго вектора (D).

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} $

2. Теперь к полученному вектору $\overrightarrow{AD}$ прибавим оставшийся вектор $\overrightarrow{DC}$:

$ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} $

3. Снова применяем правило треугольника. Суммой векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DC}$ будет вектор, идущий из точки A в точку C.

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} $

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\overrightarrow{AC}$.

Ответ: $ \overrightarrow{AC} $.

б)

Для нахождения суммы $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$ воспользуемся переместительным свойством сложения векторов ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$), чтобы сгруппировать их удобным для сложения образом.

1. Переставим слагаемые так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом другого:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} $

2. Теперь сложим первые два вектора в новой последовательности, используя правило треугольника:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} $

3. Подставим полученный результат в выражение и сложим с оставшимся вектором:

$ (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} $

4. И снова применяем правило треугольника:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} $

Следовательно, сумма векторов равна $\overrightarrow{AB}$.

Ответ: $ \overrightarrow{AB} $.

в)

Найдем сумму векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}$. Как и в предыдущем пункте, перегруппируем векторы, чтобы можно было последовательно применить правило треугольника (правило многоугольника).

1. Расположим векторы в следующем порядке:

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $

2. Последовательно сложим векторы:

$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $

3. Теперь выражение выглядит так:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $

4. Сложим результат с третьим вектором:

$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} $

5. И, наконец, прибавим последний вектор:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} $

Сумма двух противоположно направленных векторов ($\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$) равна нулевому вектору. Геометрически это означает, что мы вышли из точки A и вернулись в ту же точку A.

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} $

Таким образом, сумма векторов, образующих замкнутый контур, всегда равна нулевому вектору.

Ответ: $ \overrightarrow{0} $.