Номер 622, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

622. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство

Пусть $K, L, N, P$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ соответственно. По условию, отрезки $KN$ и $LP$, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в точке $M$. Точка $O$ — произвольная точка пространства.

Рассмотрим четырехугольник $KLNP$. Согласно теореме Вариньона, фигура, образованная последовательным соединением середин сторон любого четырехугольника, является параллелограммом. Следовательно, $KLNP$ — параллелограмм.

В любом параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей $KN$ и $LP$ параллелограмма $KLNP$. Таким образом, точка $M$ является серединой каждой из этих диагоналей.

Рассмотрим диагональ $KN$. Поскольку $M$ — ее середина, радиус-вектор точки $M$ (с началом в произвольной точке $O$) можно выразить через радиус-векторы точек $K$ и $N$ по формуле середины отрезка:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OK} + \vec{ON})$

Теперь выразим радиус-векторы точек $K$ и $N$ через радиус-векторы вершин исходного четырехугольника.
Точка $K$ — середина стороны $AB$, поэтому ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов ее концов:
$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
Аналогично, для точки $N$ — середины стороны $CD$:
$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$

Подставим полученные выражения для $\vec{OK}$ и $\vec{ON}$ в формулу для $\vec{OM}$:
$\vec{OM} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \right)$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и упростим выражение:
$\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$
$\vec{OM} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.