Номер 623, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

623. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть точка $O$ — начало системы координат. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, а $O$ — точка пересечения его диагоналей, $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. В векторной форме это означает, что выполняются следующие равенства:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$

$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$

Пусть $M$ — произвольная точка пространства. Выразим векторы, соединяющие точку $M$ с вершинами параллелограмма, через векторы $\vec{OM}$ и векторы вершин относительно точки $O$:

$\vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM}$

$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$

$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM}$

$\vec{MD} = \vec{OD} - \vec{OM}$

Сложим эти четыре векторных равенства:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) - 4\vec{OM}$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Таким образом, сумма векторов упрощается до:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = -4\vec{OM}$

Перейдем от векторного равенства к равенству длин (модулей) векторов:

$|-4\vec{OM}| = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

$4 \cdot |\vec{OM}| = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

$4 \cdot MO = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

Теперь применим обобщенное неравенство треугольника (или правило многоугольника) для векторов: модуль суммы векторов не превышает сумму их модулей.

$|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}| \le |\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| + |\vec{MD}|$

Заменяя модули векторов на длины соответствующих отрезков, получаем:

$|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}| \le MA + MB + MC + MD$

Объединяя полученные результаты, имеем:

$4 \cdot MO \le MA + MB + MC + MD$

Равенство в этом соотношении достигается тогда и только тогда, когда все четыре вектора $\vec{MA}, \vec{MB}, \vec{MC}$ и $\vec{MD}$ коллинеарны и сонаправлены. Это означало бы, что все четыре вершины параллелограмма $A, B, C, D$ лежат на одном луче, исходящем из точки $M$. Однако это невозможно, так как $A, B, C, D$ являются вершинами невырожденного параллелограмма.

Следовательно, неравенство всегда является строгим:

$4 \cdot MO < MA + MB + MC + MD$

Разделив обе части неравенства на 4, получаем то, что требовалось доказать:

$MO < \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)$

Ответ: Неравенство доказано. Что и требовалось доказать.