Номер 630, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

630. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра СС₁. Разложите вектор: а) AK по векторам AB, AD, AA₁; б) DA₁ по векторам AB₁, BC₁ и CD₁.

а) Разложение вектора $\vec{AK}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

Чтобы разложить вектор $\vec{AK}$, представим его как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $K$. Воспользуемся правилом многоугольника (или правилом замыкания ломаной), выбрав путь через вершины параллелепипеда, например, $A \rightarrow C \rightarrow K$.

Тогда вектор $\vec{AK}$ можно представить в виде суммы:

$\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK}$

Теперь выразим каждый вектор в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу сложения векторов в параллелограмме (правило параллелограмма):

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ составляет половину вектора $\vec{CC_1}$ и сонаправлен с ним:

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CC_1}$

В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, им соответствующие, равны: $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Следовательно:

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

3. Подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CK}$ в исходное равенство для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.

б) Разложение вектора $\vec{DA_1}$ по векторам $\vec{AB_1}$, $\vec{BC_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Эта задача требует разложения по небазисным векторам. Удобнее всего сначала выразить и искомый вектор, и векторы разложения через один и тот же стандартный базис, например, $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

1. Выразим искомый вектор $\vec{DA_1}$ через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$

Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, получаем:

$\vec{DA_1} = -\vec{b} + \vec{c}$

2. Теперь выразим векторы $\vec{AB_1}$, $\vec{BC_1}$ и $\vec{CD_1}$ через тот же базис:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$ (так как $\vec{BC}=\vec{AD}$ и $\vec{CC_1}=\vec{AA_1}$)

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{a} + \vec{c}$ (так как $\vec{CD}=-\vec{AB}$ и $\vec{DD_1}=\vec{AA_1}$)

3. Нам нужно найти такие коэффициенты $x, y, z$, что:

$\vec{DA_1} = x \cdot \vec{AB_1} + y \cdot \vec{BC_1} + z \cdot \vec{CD_1}$

Подставим в это равенство выражения векторов через базис $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$-\vec{b} + \vec{c} = x(\vec{a} + \vec{c}) + y(\vec{b} + \vec{c}) + z(-\vec{a} + \vec{c})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при базисных векторах:

$0 \cdot \vec{a} - 1 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (x\vec{a} - z\vec{a}) + y\vec{b} + (x\vec{c} + y\vec{c} + z\vec{c})$

$0 \cdot \vec{a} - 1 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (x-z)\vec{a} + y\vec{b} + (x+y+z)\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ линейно независимы (некомпланарны), равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих координат (коэффициентов). Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x-z = 0 \\ y = -1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x=z$. Второй коэффициент уже известен: $y=-1$. Подставим эти значения в третье уравнение:

$x + (-1) + x = 1$

$2x - 1 = 1$

$2x = 2$

$x = 1$

Так как $x=z$, то $z=1$.

Итак, мы нашли коэффициенты разложения: $x=1, y=-1, z=1$.

Подставляем их в искомое разложение:

$\vec{DA_1} = 1 \cdot \vec{AB_1} - 1 \cdot \vec{BC_1} + 1 \cdot \vec{CD_1} = \vec{AB_1} - \vec{BC_1} + \vec{CD_1}$

Ответ: $\vec{DA_1} = \vec{AB_1} - \vec{BC_1} + \vec{CD_1}$.