Номер 629, страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

629. На трёх некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA₁ построен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов (правило многоугольника и правило разности векторов). Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построен на трёх некомпланарных векторах $\vec{p} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{q} = \overrightarrow{AD}$ и $\vec{r} = \overrightarrow{AA_1}$. Это означает, что эти векторы являются рёбрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины $A$.

В силу свойств параллелепипеда, векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{D_1C_1} = \vec{p}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{B_1C_1} = \vec{q}$

$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \vec{r}$

Главными диагоналями параллелепипеда являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$. Найдём векторы, соответствующие этим диагоналям.

Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда, выходящей из той же вершины, что и базисные векторы. По правилу параллелепипеда, этот вектор равен сумме трёх векторов, на которых построен параллелепипед.

$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$

Подставляя данные значения, получаем:

$\overrightarrow{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$.

Чтобы найти вектор $\overrightarrow{BD_1}$, можно представить его как сумму векторов по рёбрам, например, по пути $B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow D_1$.

$\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1}$

Так как $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{p}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{q}$ и $\overrightarrow{DD_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{BD_1} = -\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{BD_1} = -\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$.

Представим вектор $\overrightarrow{CA_1}$ как сумму векторов по пути $C \rightarrow D \rightarrow A \rightarrow A_1$.

$\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1}$

Так как $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\vec{p}$, $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{q}$ и $\overrightarrow{AA_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{CA_1} = -\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{CA_1} = -\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$.

Представим вектор $\overrightarrow{DB_1}$ как сумму векторов по пути $D \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow B_1$.

$\overrightarrow{DB_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}$

Так как $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{q}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{p}$ и $\overrightarrow{BB_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{DB_1} = -\vec{q} + \vec{p} + \vec{r} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{DB_1} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$.

Примечание: В задаче требуется разложить векторы, образованные диагоналями. Для каждой диагонали существует два противоположно направленных вектора (например, $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{C_1A}$). Их разложения будут отличаться знаком: $\overrightarrow{C_1A} = -(\vec{p} + \vec{q} + \vec{r})$, $\overrightarrow{D_1B} = -(-\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = \vec{p} - \vec{q} - \vec{r}$, и т.д. Приведенные выше решения являются одним из двух возможных вариантов для каждой диагонали.