Номер 634, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

634. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и ВDС. Докажите, что MN || AC, и найдите отношение длин этих отрезков.

Докажите, что $MN \parallel AC$

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию, точка $M$ является точкой пересечения медиан грани $ADB$, а точка $N$ — точкой пересечения медиан грани $BDC$. Точка пересечения медиан треугольника также называется его центроидом.

Проведем медианы из общей вершины $B$ в треугольниках $ADB$ и $BDC$. Пусть $K$ — середина ребра $AD$, а $L$ — середина ребра $DC$. Тогда $BK$ является медианой треугольника $ADB$, а $BL$ — медианой треугольника $BDC$.

Точка $M$ лежит на медиане $BK$, а точка $N$ — на медиане $BL$. По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, мы имеем следующие отношения:$BM : MK = 2 : 1 \implies \frac{BM}{BK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$BN : NL = 2 : 1 \implies \frac{BN}{BL} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $KBL$. В этом треугольнике точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $BK$ и $BL$ соответственно. Поскольку $\frac{BM}{BK} = \frac{BN}{BL} = \frac{2}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках), отрезок $MN$ параллелен стороне $KL$, то есть $MN \parallel KL$.

Далее рассмотрим грань $ADC$. В треугольнике $ADC$ точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $AD$ и $DC$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, то есть $KL \parallel AC$.

Таким образом, мы установили, что $MN \parallel KL$ и $KL \parallel AC$. Согласно свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые по отдельности параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), из этого следует, что $MN \parallel AC$.Ответ: доказано.

Найдите отношение длин этих отрезков

Как было показано выше, в треугольнике $KBL$ отрезок $MN$ параллелен стороне $KL$. Это означает, что треугольник $MBN$ подобен треугольнику $KBL$ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, $\angle KBL$ — общий). Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон:$k = \frac{BM}{BK} = \frac{BN}{BL} = \frac{2}{3}$

Из подобия треугольников следует, что отношение длин их третьих сторон также равно коэффициенту подобия:$\frac{MN}{KL} = k = \frac{2}{3}$

Из свойства средней линии $KL$ в треугольнике $ADC$ мы знаем, что ее длина равна половине длины основания:$KL = \frac{1}{2}AC$

Теперь подставим это выражение в полученное ранее отношение длин:$\frac{MN}{\frac{1}{2}AC} = \frac{2}{3}$

Выразим длину $MN$ через $AC$:$MN = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}AC\right) = \frac{2}{6}AC = \frac{1}{3}AC$

Следовательно, отношение длин отрезков $MN$ и $AC$ равно:$\frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}$Ответ: отношение длин отрезков $MN$ и $AC$ равно $1:3$.