Номер 633, страница 159 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

633. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = AB, c = AC и d = AD следующие векторы: BC, CD, DB и DM.

В данной задаче нам даны три вектора, выходящие из одной вершины тетраэдра A: $ \vec{b} = \vec{AB} $, $ \vec{c} = \vec{AC} $ и $ \vec{d} = \vec{AD} $. Нам нужно выразить через них другие векторы тетраэдра. Для этого будем использовать правило треугольника (или правило разности векторов) и свойство медианы.

$\vec{BC}$

Чтобы выразить вектор $ \vec{BC} $, воспользуемся правилом разности векторов. Если два вектора ($ \vec{AB} $ и $ \vec{AC} $) выходят из одной точки (A), то вектор, соединяющий их концы (из B в C), равен разности вектора, идущего в конечную точку ($ \vec{AC} $), и вектора, идущего в начальную точку ($ \vec{AB} $). Таким образом, $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $. Подставим известные обозначения: $ \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} $.

Ответ: $ \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} $

$\vec{CD}$

Аналогично, для векторов $ \vec{AC} $ и $ \vec{AD} $, выходящих из точки A, вектор $ \vec{CD} $ выражается как разность: $ \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} $. Подставим заданные векторы: $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $.

Ответ: $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $

$\vec{DB}$

Векторы $ \vec{AD} $ и $ \vec{AB} $ выходят из точки A. Вектор $ \vec{DB} $ соединяет их концы (из D в B). Следовательно, $ \vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} $. Подставим заданные векторы: $ \vec{DB} = \vec{b} - \vec{d} $.

Ответ: $ \vec{DB} = \vec{b} - \vec{d} $

$\vec{DM}$

Точка M является серединой ребра BC. Чтобы найти вектор $ \vec{DM} $, можно представить его как сумму векторов, например, по пути $ D \to A \to M $: $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} $. Мы знаем, что $ \vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{d} $. Вектор $ \vec{AM} $ является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A. Вектор медианы равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и идущих к концам стороны, которую медиана делит пополам. Следовательно, $ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) $. Подставляя заданные векторы, получаем: $ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) $. Теперь соберем все вместе для $ \vec{DM} $: $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} = -\vec{d} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d} $.

Ответ: $ \vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d} $