Номер 640, страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

640. Запишите координаты векторов:

Чтобы найти координаты вектора, который представлен в виде разложения по координатным ортам (базисным векторам) $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$, необходимо взять коэффициенты, стоящие при этих ортах. Для вектора $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ его координаты записываются как $\{x; y; z\}$. Коэффициент при $\vec{i}$ является первой координатой (по оси Ox), коэффициент при $\vec{j}$ — второй (по оси Oy), а коэффициент при $\vec{k}$ — третьей (по оси Oz).

$\vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 5\vec{k}$

Коэффициенты при базисных векторах:

• при $\vec{i}$ стоит коэффициент 3,
• при $\vec{j}$ стоит коэффициент 2,
• при $\vec{k}$ стоит коэффициент -5.

Следовательно, координаты вектора $\vec{a}$ равны $\{3; 2; -5\}$.
Ответ: $\vec{a}\{3; 2; -5\}$

$\vec{b} = -5\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$

Коэффициенты при базисных векторах:

• при $\vec{i}$ стоит коэффициент -5,
• при $\vec{j}$ стоит коэффициент 3,
• при $\vec{k}$ стоит коэффициент -1, так как $-\vec{k}$ это то же самое, что и $-1 \cdot \vec{k}$.

Следовательно, координаты вектора $\vec{b}$ равны $\{-5; 3; -1\}$.
Ответ: $\vec{b}\{-5; 3; -1\}$

$\vec{c} = \vec{i} - \vec{j}$

В данном разложении отсутствует орт $\vec{k}$, это означает, что коэффициент при нем равен 0. Полная запись вектора: $\vec{c} = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 1.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен -1.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 0.

Следовательно, координаты вектора $\vec{c}$ равны $\{1; -1; 0\}$.
Ответ: $\vec{c}\{1; -1; 0\}$

$\vec{d} = \vec{j} + \vec{k}$

В данном разложении отсутствует орт $\vec{i}$, что означает, что коэффициент при нем равен 0. Полная запись вектора: $\vec{d} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 1.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 1.

Следовательно, координаты вектора $\vec{d}$ равны $\{0; 1; 1\}$.
Ответ: $\vec{d}\{0; 1; 1\}$

$\vec{m} = \vec{k} - \vec{i}$

Для удобства приведем разложение к стандартному виду: $\vec{m} = -\vec{i} + \vec{k}$. В разложении отсутствует орт $\vec{j}$, значит коэффициент при нем равен 0. Полная запись: $\vec{m} = -1\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен -1.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 1.

Следовательно, координаты вектора $\vec{m}$ равны $\{-1; 0; 1\}$.
Ответ: $\vec{m}\{-1; 0; 1\}$

$\vec{n} = 0,7\vec{k}$

В данном разложении отсутствуют орты $\vec{i}$ и $\vec{j}$, что означает, что коэффициенты при них равны 0. Полная запись вектора: $\vec{n} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0,7\vec{k}$.

• Коэффициент при $\vec{i}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{j}$ равен 0.
• Коэффициент при $\vec{k}$ равен 0,7.

Следовательно, координаты вектора $\vec{n}$ равны $\{0; 0; 0,7\}$.
Ответ: $\vec{n}\{0; 0; 0,7\}$