Номер 643, страница 167 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

643. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два произвольных вектора в координатной системе. Пусть это будут векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Доказательство проведем для трехмерного пространства, однако оно будет справедливо для пространства любой размерности.

Пусть векторы заданы своими координатами:

$\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$

$\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$

Любой вектор можно представить в виде разложения по ортам (единичным векторам) координатных осей $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$:

$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

$\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$

Сумма векторов

Найдем вектор $\vec{c}$, который является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Подставим в это равенство разложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по ортам:

$\vec{c} = (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}) + (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k})$

Используя свойства сложения векторов (ассоциативность и коммутативность) и свойство умножения вектора на число (дистрибутивность), сгруппируем слагаемые при одинаковых ортах:

$\vec{c} = (a_x\vec{i} + b_x\vec{i}) + (a_y\vec{j} + b_y\vec{j}) + (a_z\vec{k} + b_z\vec{k})$

Вынесем орты за скобки:

$\vec{c} = (a_x + b_x)\vec{i} + (a_y + b_y)\vec{j} + (a_z + b_z)\vec{k}$

Полученное выражение является разложением вектора $\vec{c}$ по ортам. Коэффициенты при ортах $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ по определению являются координатами вектора $\vec{c}$:

$c_x = a_x + b_x$

$c_y = a_y + b_y$

$c_z = a_z + b_z$

Таким образом, мы доказали, что каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат исходных векторов.

Ответ: Координаты вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z\}$, то есть каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Разность векторов

Найдем вектор $\vec{d}$, который является разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$

Аналогично случаю со сложением, подставим разложения векторов по ортам:

$\vec{d} = (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}) - (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых ортах:

$\vec{d} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k} - b_x\vec{i} - b_y\vec{j} - b_z\vec{k}$

$\vec{d} = (a_x\vec{i} - b_x\vec{i}) + (a_y\vec{j} - b_y\vec{j}) + (a_z\vec{k} - b_z\vec{k})$

Вынесем орты за скобки:

$\vec{d} = (a_x - b_x)\vec{i} + (a_y - b_y)\vec{j} + (a_z - b_z)\vec{k}$

Коэффициенты при ортах $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ являются координатами вектора $\vec{d}$:

$d_x = a_x - b_x$

$d_y = a_y - b_y$

$d_z = a_z - b_z$

Таким образом, мы доказали, что каждая координата вектора разности равна разности соответствующих координат исходных векторов.

Ответ: Координаты вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z\}$, то есть каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.