Номер 650, страница 168 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

650. Коллинеарны ли векторы:

Решение

а) Координаты вектора a{3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора

Поэтому a = kb, и, следовательно, векторы a и b коллинеарны.

б) Координаты вектора c{1; −1; 3} не пропорциональны координатам вектора d{2; 3; 15}, например $\frac{1}{2}$ ≠ − $\frac{1}{3}$. Поэтому векторы c и d не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы c и d коллинеарны, то существует такое число k, что c = kd. Но тогда координаты вектора c пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на некоторое число (скаляр). Для векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ условие коллинеарности заключается в пропорциональности их координат:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$

где $k$ – коэффициент пропорциональности. Если одна из координат знаменателя равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата числителя также должна быть равна нулю. Нулевой вектор $\vec{0}\{0; 0; 0\}$ по определению коллинеарен любому вектору.

а) Проверим коллинеарность векторов $\vec{a}\{3; 6; 8\}$ и $\vec{b}\{6; 12; 16\}$.

Для этого составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Так как отношения всех координат равны одному и тому же числу ($\frac{1}{2}$), то координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы коллинеарны, причем $\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: векторы коллинеарны.

б) Проверим коллинеарность векторов $\vec{c}\{1; -1; 3\}$ и $\vec{d}\{2; 3; 15\}$.

Составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{1}{2}$

$\frac{-1}{3}$

$\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}$, отношения координат не равны. Следовательно, векторы не являются коллинеарными.

Ответ: векторы не коллинеарны.

в) Проверим коллинеарность векторов $\vec{i}\{1; 0; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1; 0\}$.

Предположим, что векторы коллинеарны. Тогда должно существовать такое число $k$, что $\vec{i} = k\vec{j}$. Запишем это равенство в координатной форме:

$\{1; 0; 0\} = k \cdot \{0; 1; 0\} = \{0; k; 0\}$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему:

$1 = 0$

$0 = k$

$0 = 0$

Первое уравнение $1=0$ является ложным, что приводит к противоречию. Следовательно, такого числа $k$ не существует, и векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы не коллинеарны.

г) Проверим коллинеарность векторов $\vec{m}\{0; 0; 0\}$ и $\vec{n}\{5; 7; -3\}$.

Вектор $\vec{m}$ — это нулевой вектор. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Это следует из того, что для любого вектора $\vec{n}$ существует число $k=0$, такое что $\vec{m} = k\vec{n}$.

Проверка: $0 \cdot \vec{n} = 0 \cdot \{5; 7; -3\} = \{0 \cdot 5; 0 \cdot 7; 0 \cdot (-3)\} = \{0; 0; 0\} = \vec{m}$.

Равенство выполняется, значит, векторы коллинеарны.

Ответ: векторы коллинеарны.

д) Проверим коллинеарность векторов $\vec{p}\{\frac{1}{3}; -1; 5\}$ и $\vec{q}\{-1; -3; -15\}$.

Составим отношения их соответствующих координат:

Отношение первых координат: $\frac{1/3}{-1} = -\frac{1}{3}$.

Отношение вторых координат: $\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Отношение третьих координат: $\frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$.

Так как $-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3}$, отношения координат не равны друг другу. Следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы не коллинеарны.