Номер 656, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

656. Вершины треугольника ABC имеют координаты: А(1; 6; 2), В(2; 3; −1), С(−3; 4; 5). Разложите векторы AB, BC и CA по координатным векторам i, j и k.

Для нахождения координат вектора, заданного двумя точками, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если точка $M_1$ имеет координаты $(x_1; y_1; z_1)$, а точка $M_2$ имеет координаты $(x_2; y_2; z_2)$, то вектор $\vec{M_1M_2}$ имеет координаты $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Разложение вектора $\vec{a}$ с координатами $(x; y; z)$ по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ имеет вид: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Даны координаты вершин треугольника: $A(1; 6; 2)$, $B(2; 3; -1)$, $C(-3; 4; 5)$.

Разложение вектора $\vec{AB}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки $B$ соответствующие координаты точки $A$:

$\vec{AB} = (2 - 1; 3 - 6; -1 - 2) = (1; -3; -3)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{AB}$ по координатным векторам:

$\vec{AB} = 1 \cdot \vec{i} + (-3) \cdot \vec{j} + (-3) \cdot \vec{k} = \vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$.

Разложение вектора $\vec{BC}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, вычитая из координат точки $C$ соответствующие координаты точки $B$:

$\vec{BC} = (-3 - 2; 4 - 3; 5 - (-1)) = (-5; 1; 6)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{BC}$ по координатным векторам:

$\vec{BC} = -5 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + 6 \cdot \vec{k} = -5\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$.

Ответ: $\vec{BC} = -5\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$.

Разложение вектора $\vec{CA}$

1. Найдем координаты вектора $\vec{CA}$, вычитая из координат точки $A$ соответствующие координаты точки $C$:

$\vec{CA} = (1 - (-3); 6 - 4; 2 - 5) = (1 + 3; 2; -3) = (4; 2; -3)$.

2. Запишем разложение вектора $\vec{CA}$ по координатным векторам:

$\vec{CA} = 4 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} + (-3) \cdot \vec{k} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$.

Ответ: $\vec{CA} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$.