Номер 659, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

659. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:

Для того чтобы четыре точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора, построенные на этих точках с общим началом в одной из них, были компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Смешанное произведение векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$, $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ и $\vec{c}=(x_3, y_3, z_3)$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат: $ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} $

Даны точки $A(-2; -13; 3)$, $B(1; 4; 1)$, $C(-1; -1; -4)$, $D(0; 0; 0)$. Выберем точку D в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$: $\vec{DA} = A - D = (-2-0; -13-0; 3-0) = (-2; -13; 3)$ $\vec{DB} = B - D = (1-0; 4-0; 1-0) = (1; 4; 1)$ $\vec{DC} = C - D = (-1-0; -1-0; -4-0) = (-1; -1; -4)$

Теперь вычислим смешанное произведение этих векторов: $ (\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}) = \begin{vmatrix} -2 & -13 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & -4 \end{vmatrix} $ $ = -2(4 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) - (-13)(1 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) + 3(1 \cdot (-1) - 4 \cdot (-1)) $ $ = -2(-16 + 1) + 13(-4 + 1) + 3(-1 + 4) = -2(-15) + 13(-3) + 3(3) = 30 - 39 + 9 = 0 $

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, а значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.

Даны точки $A(0; 1; 0)$, $B(3; 4; -1)$, $C(-2; -3; 0)$, $D(2; 0; 3)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (3-0; 4-1; -1-0) = (3; 3; -1)$ $\vec{AC} = C - A = (-2-0; -3-1; 0-0) = (-2; -4; 0)$ $\vec{AD} = D - A = (2-0; 0-1; 3-0) = (2; -1; 3)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} $ $ = 3(-4 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - 3(-2 \cdot 3 - 0 \cdot 2) + (-1)(-2 \cdot (-1) - (-4) \cdot 2) $ $ = 3(-12) - 3(-6) - 1(2 + 8) = -36 + 18 - 10 = -28 $

Смешанное произведение не равно нулю ($-28 \neq 0$), следовательно, векторы некомпланарны, и точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Ответ: нет, не лежат.

Даны точки $A(5; -1; 0)$, $B(-2; 7; 1)$, $C(12; -15; -7)$, $D(1; 1; -2)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (-2-5; 7-(-1); 1-0) = (-7; 8; 1)$ $\vec{AC} = C - A = (12-5; -15-(-1); -7-0) = (7; -14; -7)$ $\vec{AD} = D - A = (1-5; 1-(-1); -2-0) = (-4; 2; -2)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -7 & 8 & 1 \\ 7 & -14 & -7 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix} $ $ = -7((-14) \cdot (-2) - (-7) \cdot 2) - 8(7 \cdot (-2) - (-7) \cdot (-4)) + 1(7 \cdot 2 - (-14) \cdot (-4)) $ $ = -7(28 + 14) - 8(-14 - 28) + 1(14 - 56) = -7(42) - 8(-42) - 42 = -294 + 336 - 42 = 0 $

Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны, и точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.