Номер 659, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: коричневый с ромбами

ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Координаты точки и координаты вектора. Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения - номер 659, страница 169.

№659 (с. 169)
Условие. №659 (с. 169)
скриншот условия
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Условие

659. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:

Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости
Решение 2. №659 (с. 169)
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Решение 2 Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Решение 2 (продолжение 2) Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 4. №659 (с. 169)
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Решение 4
Решение 5. №659 (с. 169)
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 169, номер 659, Решение 5
Решение 6. №659 (с. 169)

Для того чтобы четыре точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора, построенные на этих точках с общим началом в одной из них, были компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Смешанное произведение векторов $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$, $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ и $\vec{c}=(x_3, y_3, z_3)$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат: $ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} $

а)

Даны точки $A(-2; -13; 3)$, $B(1; 4; 1)$, $C(-1; -1; -4)$, $D(0; 0; 0)$. Выберем точку D в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$: $\vec{DA} = A - D = (-2-0; -13-0; 3-0) = (-2; -13; 3)$ $\vec{DB} = B - D = (1-0; 4-0; 1-0) = (1; 4; 1)$ $\vec{DC} = C - D = (-1-0; -1-0; -4-0) = (-1; -1; -4)$

Теперь вычислим смешанное произведение этих векторов: $ (\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}) = \begin{vmatrix} -2 & -13 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & -4 \end{vmatrix} $ $ = -2(4 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) - (-13)(1 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) + 3(1 \cdot (-1) - 4 \cdot (-1)) $ $ = -2(-16 + 1) + 13(-4 + 1) + 3(-1 + 4) = -2(-15) + 13(-3) + 3(3) = 30 - 39 + 9 = 0 $

Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, а значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.

б)

Даны точки $A(0; 1; 0)$, $B(3; 4; -1)$, $C(-2; -3; 0)$, $D(2; 0; 3)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (3-0; 4-1; -1-0) = (3; 3; -1)$ $\vec{AC} = C - A = (-2-0; -3-1; 0-0) = (-2; -4; 0)$ $\vec{AD} = D - A = (2-0; 0-1; 3-0) = (2; -1; 3)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} $ $ = 3(-4 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) - 3(-2 \cdot 3 - 0 \cdot 2) + (-1)(-2 \cdot (-1) - (-4) \cdot 2) $ $ = 3(-12) - 3(-6) - 1(2 + 8) = -36 + 18 - 10 = -28 $

Смешанное произведение не равно нулю ($-28 \neq 0$), следовательно, векторы некомпланарны, и точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Ответ: нет, не лежат.

в)

Даны точки $A(5; -1; 0)$, $B(-2; 7; 1)$, $C(12; -15; -7)$, $D(1; 1; -2)$. Выберем точку A в качестве общего начала и найдем координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AB} = B - A = (-2-5; 7-(-1); 1-0) = (-7; 8; 1)$ $\vec{AC} = C - A = (12-5; -15-(-1); -7-0) = (7; -14; -7)$ $\vec{AD} = D - A = (1-5; 1-(-1); -2-0) = (-4; 2; -2)$

Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -7 & 8 & 1 \\ 7 & -14 & -7 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix} $ $ = -7((-14) \cdot (-2) - (-7) \cdot 2) - 8(7 \cdot (-2) - (-7) \cdot (-4)) + 1(7 \cdot 2 - (-14) \cdot (-4)) $ $ = -7(28 + 14) - 8(-14 - 28) + 1(14 - 56) = -7(42) - 8(-42) - 42 = -294 + 336 - 42 = 0 $

Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны, и точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Ответ: да, лежат.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 659 расположенного на странице 169 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №659 (с. 169), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.