Номер 658, страница 169 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

658. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если:

Решение

а) Если векторы AB и AC коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Найдём координаты этих векторов: AB{−8; 11; −7}, AC{24; −33; 21}. Очевидно, AC = −3AB, поэтому векторы AB и AC коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.

Для того чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), были коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, для векторов $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ должно выполняться условие $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$ для некоторого числа $k$.

а) Даны точки $A(3; -7; 8)$, $B(-5; 4; 1)$, $C(27; -40; 29)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-5 - 3; 4 - (-7); 1 - 8\} = \{-8; 11; -7\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{27 - 3; -40 - (-7); 29 - 8\} = \{24; -33; 21\}$.

Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\frac{24}{-8} = -3$

$\frac{-33}{11} = -3$

$\frac{21}{-7} = -3$

Поскольку отношения соответствующих координат равны одному и тому же числу ($-3$), векторы коллинеарны. Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: да, лежат.

б) Даны точки $A(-5; 7; 12)$, $B(4; -8; 3)$, $C(13; -23; -6)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{4 - (-5); -8 - 7; 3 - 12\} = \{9; -15; -9\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{13 - (-5); -23 - 7; -6 - 12\} = \{18; -30; -18\}$.

Проверим пропорциональность координат:

$\frac{18}{9} = 2$

$\frac{-30}{-15} = 2$

$\frac{-18}{-9} = 2$

Отношения соответствующих координат равны числу $2$, следовательно, векторы коллинеарны. Это означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: да, лежат.

в) Даны точки $A(-4; 8; -2)$, $B(-3; -1; 7)$, $C(-2; -10; -16)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-3 - (-4); -1 - 8; 7 - (-2)\} = \{1; -9; 9\}$.

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{-2 - (-4); -10 - 8; -16 - (-2)\} = \{2; -18; -14\}$.

Проверим пропорциональность координат:

$\frac{2}{1} = 2$

$\frac{-18}{-9} = 2$

$\frac{-14}{9} \approx -1.56$

Так как $2 \ne \frac{-14}{9}$, отношения координат не равны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, и точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: нет, не лежат.