Страница 158 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

619. При каких значениях k в равенстве a = kb, где b ≠ 0, векторы a и b:

а) коллинеарны;

б) сонаправлены;

в) противоположно направлены;

г) являются противоположными?

а) коллинеарны; Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). Равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ как раз и является математической записью этого условия. Это означает, что для любого действительного числа $k$ вектор $\vec{a}$ будет коллинеарен вектору $\vec{b}$. Если $k=0$, то $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.
Ответ: $k$ — любое действительное число ($k \in \mathbb{R}$).

б) сонаправлены; Сонаправленные векторы ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. При умножении вектора на положительный скаляр его направление не меняется. Следовательно, для того чтобы вектор $\vec{a}$ был сонаправлен с вектором $\vec{b}$ в равенстве $\vec{a} = k\vec{b}$, коэффициент $k$ должен быть положительным.
Ответ: $k > 0$.

в) противоположно направлены; Противоположно направленные векторы ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) — это коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. При умножении вектора на отрицательный скаляр его направление меняется на противоположное. Следовательно, для того чтобы вектор $\vec{a}$ был противоположно направлен вектору $\vec{b}$ в равенстве $\vec{a} = k\vec{b}$, коэффициент $k$ должен быть отрицательным.
Ответ: $k < 0$.

г) являются противоположными? Противоположные векторы — это векторы, которые имеют равные длины (модули) и противоположные направления. Таким образом, должны выполняться два условия: 1. Направления векторов противоположны. Как мы выяснили в пункте (в), это означает, что $k < 0$. 2. Длины векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Найдем длину вектора $\vec{a}$ из исходного равенства: $|\vec{a}| = |k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$. Подставим это в условие равенства длин: $|k| \cdot |\vec{b}| = |\vec{b}|$. Поскольку по условию $\vec{b} \neq \vec{0}$, то и $|\vec{b}| \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части равенства на $|\vec{b}|$, получив $|k| = 1$. Уравнение $|k|=1$ имеет два решения: $k=1$ и $k=-1$. Выбираем то решение, которое удовлетворяет первому условию ($k < 0$). Этим решением является $k=-1$. При $k=-1$ равенство принимает вид $\vec{a} = -\vec{b}$, что полностью соответствует определению противоположных векторов.
Ответ: $k = -1$.

620. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то: а) векторы a и b не коллинеарны; б) векторы a + k₁b и a + l₁b не коллинеарны при любых неравных числах k₁ и l₁.

Дано: числа $k$ и $l$ таковы, что $k \neq l$. Векторы $\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} + l\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что не существует такого числа $\lambda$, для которого выполнялось бы равенство $\vec{c} = \lambda\vec{d}$.

а) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны;

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарных векторов, это означает, что существует такое число $\mu$, что $\vec{a} = \mu\vec{b}$. (Здесь мы считаем, что $\vec{b} \neq \vec{0}$, так как в противном случае $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = \vec{a}$, и они были бы коллинеарны, что противоречит условию задачи).

Теперь подставим выражение $\vec{a} = \mu\vec{b}$ в определения векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b} = \mu\vec{b} + k\vec{b} = (\mu + k)\vec{b}$

$\vec{d} = \vec{a} + l\vec{b} = \mu\vec{b} + l\vec{b} = (\mu + l)\vec{b}$

Из полученных равенств следует, что оба вектора, $\vec{c}$ и $\vec{d}$, пропорциональны вектору $\vec{b}$. Это означает, что векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны между собой, так как они оба коллинеарны одному и тому же вектору $\vec{b}$.

Однако, это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что векторы $\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{a} + l\vec{b}$ не коллинеарны. Следовательно, наше исходное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ было неверным.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.

б) векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ не коллинеарны при любых неравных числах $k_1$ и $l_1$.

В пункте (а) мы установили, что из условия задачи следует неколлинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Теперь докажем, что это свойство влечет за собой неколлинеарность векторов $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ для любых $k_1 \neq l_1$.

Снова воспользуемся методом от противного. Предположим, что для некоторой пары неравных чисел $k_1$ и $l_1$ ($k_1 \neq l_1$) векторы $\vec{c}_1 = \vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{d}_1 = \vec{a} + l_1\vec{b}$ являются коллинеарными.

Если они коллинеарны, то существует такое число $\lambda$, что $\vec{c}_1 = \lambda\vec{d}_1$. (Вектор $\vec{d}_1$ не может быть нулевым, так как это означало бы $\vec{a} = -l_1\vec{b}$, то есть коллинеарность $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что, как мы доказали в пункте (а), неверно).

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\vec{a} + k_1\vec{b} = \lambda(\vec{a} + l_1\vec{b})$

Выполним преобразования, чтобы сгруппировать слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} + k_1\vec{b} = \lambda\vec{a} + \lambda l_1\vec{b}$

$\vec{a} - \lambda\vec{a} = \lambda l_1\vec{b} - k_1\vec{b}$

$(1 - \lambda)\vec{a} = (\lambda l_1 - k_1)\vec{b}$

Мы знаем, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что они линейно независимы. Равенство вида $x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$ (в нашем случае $x\vec{a} - y\vec{b} = \vec{0}$) для линейно независимых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ возможно только тогда, когда скалярные коэффициенты при них равны нулю.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$1 - \lambda = 0$

$\lambda l_1 - k_1 = 0$

Из первого уравнения следует, что $\lambda = 1$. Подставим это значение во второе уравнение:

$1 \cdot l_1 - k_1 = 0$

$l_1 = k_1$

Это равенство противоречит условию, что числа $k_1$ и $l_1$ не равны друг другу. Следовательно, наше предположение о том, что векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ могут быть коллинеарны, было ошибочным.

Ответ: Векторы $\vec{a} + k_1\vec{b}$ и $\vec{a} + l_1\vec{b}$ не коллинеарны при любых неравных числах $k_1$ и $l_1$.

621. Точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон ВС, АС и AB треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что

Для доказательства данного равенства воспользуемся свойством радиус-вектора середины отрезка. Если точка $M$ является серединой отрезка $PQ$, а $O$ — произвольная точка пространства, то радиус-вектор точки $M$, проведенный из точки $O$, можно выразить через радиус-векторы точек $P$ и $Q$ следующим образом: $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Применим указанное выше свойство для каждой из этих точек, выбрав точку $O$ в качестве начала отсчета радиус-векторов.

1. Для точки $A_1$, середины стороны $BC$, имеем:
$\vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$

2. Для точки $B_1$, середины стороны $AC$, имеем:
$\vec{OB_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

3. Для точки $C_1$, середины стороны $AB$, имеем:
$\vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Теперь рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать, и подставим в нее полученные выражения:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = (\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OA}) + (\frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OB}) + (\frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OC})$

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OA}) + (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OB}) + (2 \cdot \frac{1}{2}\vec{OC})$

В результате получаем:

$\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Мы получили, что левая часть исходного равенства равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Равенство $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ является верным для любого треугольника $ABC$ и произвольной точки пространства $O$.

622. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство

Пусть $K, L, N, P$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ соответственно. По условию, отрезки $KN$ и $LP$, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в точке $M$. Точка $O$ — произвольная точка пространства.

Рассмотрим четырехугольник $KLNP$. Согласно теореме Вариньона, фигура, образованная последовательным соединением середин сторон любого четырехугольника, является параллелограммом. Следовательно, $KLNP$ — параллелограмм.

В любом параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей $KN$ и $LP$ параллелограмма $KLNP$. Таким образом, точка $M$ является серединой каждой из этих диагоналей.

Рассмотрим диагональ $KN$. Поскольку $M$ — ее середина, радиус-вектор точки $M$ (с началом в произвольной точке $O$) можно выразить через радиус-векторы точек $K$ и $N$ по формуле середины отрезка:
$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OK} + \vec{ON})$

Теперь выразим радиус-векторы точек $K$ и $N$ через радиус-векторы вершин исходного четырехугольника.
Точка $K$ — середина стороны $AB$, поэтому ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов ее концов:
$\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$
Аналогично, для точки $N$ — середины стороны $CD$:
$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$

Подставим полученные выражения для $\vec{OK}$ и $\vec{ON}$ в формулу для $\vec{OM}$:
$\vec{OM} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \right)$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и упростим выражение:
$\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$
$\vec{OM} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.

623. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть точка $O$ — начало системы координат. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, а $O$ — точка пересечения его диагоналей, $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. В векторной форме это означает, что выполняются следующие равенства:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$

$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$

Пусть $M$ — произвольная точка пространства. Выразим векторы, соединяющие точку $M$ с вершинами параллелограмма, через векторы $\vec{OM}$ и векторы вершин относительно точки $O$:

$\vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM}$

$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$

$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM}$

$\vec{MD} = \vec{OD} - \vec{OM}$

Сложим эти четыре векторных равенства:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) - 4\vec{OM}$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Таким образом, сумма векторов упрощается до:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = -4\vec{OM}$

Перейдем от векторного равенства к равенству длин (модулей) векторов:

$|-4\vec{OM}| = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

$4 \cdot |\vec{OM}| = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

$4 \cdot MO = |\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}|$

Теперь применим обобщенное неравенство треугольника (или правило многоугольника) для векторов: модуль суммы векторов не превышает сумму их модулей.

$|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}| \le |\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| + |\vec{MD}|$

Заменяя модули векторов на длины соответствующих отрезков, получаем:

$|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}| \le MA + MB + MC + MD$

Объединяя полученные результаты, имеем:

$4 \cdot MO \le MA + MB + MC + MD$

Равенство в этом соотношении достигается тогда и только тогда, когда все четыре вектора $\vec{MA}, \vec{MB}, \vec{MC}$ и $\vec{MD}$ коллинеарны и сонаправлены. Это означало бы, что все четыре вершины параллелограмма $A, B, C, D$ лежат на одном луче, исходящем из точки $M$. Однако это невозможно, так как $A, B, C, D$ являются вершинами невырожденного параллелограмма.

Следовательно, неравенство всегда является строгим:

$4 \cdot MO < MA + MB + MC + MD$

Разделив обе части неравенства на 4, получаем то, что требовалось доказать:

$MO < \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)$

Ответ: Неравенство доказано. Что и требовалось доказать.

624. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор OP через векторы OM и ON, если:

где k — данное число.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило разности векторов и правило треугольника для сложения векторов. Любой вектор $\vec{AB}$ можно выразить через векторы, проведенные из произвольной точки $O$, по формуле $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Мы будем использовать эту формулу, чтобы выразить векторы, соединяющие точки $M$, $N$ и $P$, через заданные векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$.

а) По условию нам дано равенство $\vec{NP} = 2\vec{MN}$. Чтобы выразить вектор $\vec{OP}$, воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{OP} = \vec{ON} + \vec{NP}$. Подставим в это равенство данное по условию соотношение: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2\vec{MN}$. Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$. Подставим полученное выражение для $\vec{MN}$ в формулу для $\vec{OP}$: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2(\vec{ON} - \vec{OM})$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\vec{OP} = \vec{ON} + 2\vec{ON} - 2\vec{OM} = 3\vec{ON} - 2\vec{OM}$.
Ответ: $\vec{OP} = 3\vec{ON} - 2\vec{OM}$.

б) По условию нам дано равенство $\vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{PN}$. Выразим векторы $\vec{MP}$ и $\vec{PN}$ через векторы, исходящие из точки $O$: $\vec{MP} = \vec{OP} - \vec{OM}$ $\vec{PN} = \vec{ON} - \vec{OP}$ Подставим эти выражения в исходное равенство: $\vec{OP} - \vec{OM} = -\frac{1}{2}(\vec{ON} - \vec{OP})$. Теперь нам нужно решить это уравнение относительно вектора $\vec{OP}$. Раскроем скобки: $\vec{OP} - \vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{ON} + \frac{1}{2}\vec{OP}$. Соберем все слагаемые с $\vec{OP}$ в левой части, а остальные - в правой: $\vec{OP} - \frac{1}{2}\vec{OP} = \vec{OM} - \frac{1}{2}\vec{ON}$. $\frac{1}{2}\vec{OP} = \vec{OM} - \frac{1}{2}\vec{ON}$. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\vec{OP}$: $\vec{OP} = 2\vec{OM} - \vec{ON}$.
Ответ: $\vec{OP} = 2\vec{OM} - \vec{ON}$.

в) По условию нам дано равенство $\vec{MP} = k \cdot \vec{MN}$, где $k$ – данное число. Для выражения $\vec{OP}$ воспользуемся правилом треугольника: $\vec{OP} = \vec{OM} + \vec{MP}$. Подставим в это равенство данное условие: $\vec{OP} = \vec{OM} + k \cdot \vec{MN}$. Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$. Подставим это выражение в нашу формулу для $\vec{OP}$: $\vec{OP} = \vec{OM} + k(\vec{ON} - \vec{OM})$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$: $\vec{OP} = \vec{OM} + k\vec{ON} - k\vec{OM} = (1-k)\vec{OM} + k\vec{ON}$.
Ответ: $\vec{OP} = (1-k)\vec{OM} + k\vec{ON}$.

625. Докажите, что векторы p, a и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны .

Три вектора называются компланарными, если они, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости. Эквивалентное алгебраическое определение гласит, что векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ компланарны, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. То есть существуют такие числа $x$ и $y$, что, например, выполняется равенство $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Воспользуемся этим определением для доказательства.

а) один из данных векторов нулевой

Пусть, для определенности, вектор $\vec{p}$ является нулевым, то есть $\vec{p} = \vec{0}$. Нам необходимо доказать, что его можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Рассмотрим равенство $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Подставив $\vec{p} = \vec{0}$, получим:

Данное равенство будет истинным, если выбрать коэффициенты $x=0$ и $y=0$:

Это верное равенство, так как $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $0 \cdot \vec{b} = \vec{0}$, а сумма двух нулевых векторов есть нулевой вектор. Таким образом, мы представили вектор $\vec{p}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, по определению, векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ компланарны. Доказательство будет аналогичным, если нулевым является вектор $\vec{a}$ или $\vec{b}$.

Ответ: Доказано, что если один из векторов нулевой, то три вектора компланарны.

б) два из данных векторов коллинеарны

Пусть, для определенности, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что один вектор можно выразить через другой: $\vec{a} = k\vec{b}$. (Если $\vec{b} = \vec{0}$, то этот случай сводится к пункту а), который уже доказан, поэтому можно считать, что $\vec{b} \ne \vec{0}$). Нам необходимо показать, что один из трех векторов можно выразить через два других. Выразим вектор $\vec{a}$ через векторы $\vec{p}$ и $\vec{b}$. Равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ можно записать в виде:

Это равенство представляет собой линейную комбинацию, выражающую вектор $\vec{a}$ через векторы $\vec{p}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $x=0$ и $y=k$. Поскольку один из векторов ($\vec{a}$) представлен в виде линейной комбинации двух других ($\vec{p}$ и $\vec{b}$), то по определению векторы $\vec{p}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются компланарными.

Ответ: Доказано, что если два из векторов коллинеарны, то три вектора компланарны.

626. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃, причём A₁A₂ = k ⋅ A₁A₃, B₁B₂ = k ⋅ B₁B₃. Докажите, что прямые А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ параллельны некоторой плоскости.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. На прямой $a$ лежат точки $A_1, A_2, A_3$, а на прямой $b$ лежат точки $B_1, B_2, B_3$. По условию задачи, для этих точек выполняются векторные равенства:
$\overrightarrow{A_1A_2} = k \cdot \overrightarrow{A_1A_3}$
$\overrightarrow{B_1B_2} = k \cdot \overrightarrow{B_1B_3}$

Чтобы доказать, что прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны некоторой плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Это эквивалентно тому, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других.

Выразим вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ через векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$. Для этого введем радиус-векторы точек, отложенные от произвольного начала отсчета $O$. Обозначим радиус-вектор точки $A_i$ как $\vec{a_i}$, а точки $B_i$ как $\vec{b_i}$.

Из первого условия $\overrightarrow{A_1A_2} = k \cdot \overrightarrow{A_1A_3}$ получаем:
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = k(\vec{a_3} - \vec{a_1})$
$\vec{a_2} = \vec{a_1} + k\vec{a_3} - k\vec{a_1}$
$\vec{a_2} = (1-k)\vec{a_1} + k\vec{a_3}$

Аналогично, из второго условия $\overrightarrow{B_1B_2} = k \cdot \overrightarrow{B_1B_3}$ получаем:
$\vec{b_2} - \vec{b_1} = k(\vec{b_3} - \vec{b_1})$
$\vec{b_2} = \vec{b_1} + k\vec{b_3} - k\vec{b_1}$
$\vec{b_2} = (1-k)\vec{b_1} + k\vec{b_3}$

Теперь найдем выражение для вектора $\overrightarrow{A_2B_2}$:
$\overrightarrow{A_2B_2} = \vec{b_2} - \vec{a_2}$
Подставим в это равенство полученные выражения для $\vec{a_2}$ и $\vec{b_2}$:
$\overrightarrow{A_2B_2} = ((1-k)\vec{b_1} + k\vec{b_3}) - ((1-k)\vec{a_1} + k\vec{a_3})$
Сгруппируем слагаемые с общими коэффициентами:
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)\vec{b_1} - (1-k)\vec{a_1} + k\vec{b_3} - k\vec{a_3}$
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)(\vec{b_1} - \vec{a_1}) + k(\vec{b_3} - \vec{a_3})$

Заметим, что $\vec{b_1} - \vec{a_1} = \overrightarrow{A_1B_1}$ и $\vec{b_3} - \vec{a_3} = \overrightarrow{A_3B_3}$. Таким образом, мы получили итоговое соотношение:
$\overrightarrow{A_2B_2} = (1-k)\overrightarrow{A_1B_1} + k\overrightarrow{A_3B_3}$

Это равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{A_2B_2}$ является линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$. Следовательно, три вектора $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны.

Так как исходные прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ не коллинеарны. Эти два неколлинеарных вектора задают некоторую плоскость $\alpha$. Поскольку все три направляющих вектора $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны, то все три прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$ параллельны этой плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{A_2B_2}$ и $\overrightarrow{A_3B_3}$ компланарны, следовательно, прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ параллельны некоторой плоскости.

627. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = AD = a, AA₁ = 2a. В вершинах В₁ и D₁ помещены заряды q, а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке А₁; б) в точке С; в) в центре грани А₁B₁С₁D₁; г) в центре грани ABCD.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в вершине $A$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ — вдоль $AD$, ось $z$ — вдоль $AA_1$. В этой системе координат расположение зарядов следующее:

• Заряд $q_A = 2q$ в точке $A(0, 0, 0)$.
• Заряд $q_{B_1} = q$ в точке $B_1(a, 0, 2a)$.
• Заряд $q_{D_1} = q$ в точке $D_1(0, a, 2a)$.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $Q$ на расстоянии $r$, вычисляется по формуле $E = k \frac{|Q|}{r^2}$, где $k$ — постоянная Кулона. Результирующая напряженность поля в точке находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей от всех зарядов: $\vec{E}_{рез} = \sum_i \vec{E}_i$.

а) в точке $A_1$

Координаты точки $A_1$ равны $(0, 0, 2a)$. Найдем напряженность поля от каждого заряда в этой точке.

1. Поле от заряда $2q$ в точке $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{A A_1} = 2a$. Вектор напряженности $\vec{E}_A$ направлен вертикально вверх вдоль оси $z$:$\vec{E}_A = k \frac{2q}{(2a)^2} \hat{k} = \frac{kq}{2a^2} \hat{k}$.

2. Поле от заряда $q$ в точке $B_1(a,0,2a)$. Расстояние $r_{B_1 A_1} = a$. Вектор напряженности $\vec{E}_{B_1}$ направлен от $B_1$ к $A_1$, то есть против оси $x$:$\vec{E}_{B_1} = k \frac{q}{a^2} (-\hat{i})$.

3. Поле от заряда $q$ в точке $D_1(0,a,2a)$. Расстояние $r_{D_1 A_1} = a$. Вектор напряженности $\vec{E}_{D_1}$ направлен от $D_1$ к $A_1$, то есть против оси $y$:$\vec{E}_{D_1} = k \frac{q}{a^2} (-\hat{j})$.

Результирующий вектор напряженности:$\vec{E}_{рез} = \vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1} + \vec{E}_A = -\frac{kq}{a^2} \hat{i} - \frac{kq}{a^2} \hat{j} + \frac{kq}{2a^2} \hat{k}$.

Абсолютная величина (модуль) результирующей напряженности:$E_{рез} = |\vec{E}_{рез}| = \sqrt{\left(-\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(-\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{kq}{2a^2}\right)^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3kq}{2a^2}$.

Ответ: $E = \frac{3kq}{2a^2}$.

б) в точке $C$

Координаты точки $C$ равны $(a, a, 0)$.

1. Поле от заряда $2q$ в $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{AC} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Модуль поля $E_A = k \frac{2q}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kq}{a^2}$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен вдоль диагонали $AC$.

2. Поле от заряда $q$ в $B_1(a,0,2a)$. Расстояние $r_{B_1 C} = \sqrt{(a-a)^2+(a-0)^2+(0-2a)^2} = \sqrt{a^2+4a^2} = a\sqrt{5}$. Модуль поля $E_{B_1} = k \frac{q}{(a\sqrt{5})^2} = \frac{kq}{5a^2}$.

3. Поле от заряда $q$ в $D_1(0,a,2a)$. Расстояние $r_{D_1 C} = \sqrt{(a-0)^2+(a-a)^2+(0-2a)^2} = \sqrt{a^2+4a^2} = a\sqrt{5}$. Модуль поля $E_{D_1} = k \frac{q}{(a\sqrt{5})^2} = \frac{kq}{5a^2}$.

Для нахождения модуля суммы векторов найдем углы между ними. Суммарное поле от зарядов в $B_1$ и $D_1$ ($\vec{E}_{B_1 D_1} = \vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1}$). Угол $\theta$ между векторами $\vec{r}_{B_1 C}=(0,a,-2a)$ и $\vec{r}_{D_1 C}=(a,0,-2a)$ равен $\cos\theta = \frac{(0)(a)+(a)(0)+(-2a)(-2a)}{(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})} = \frac{4}{5}$. Модуль их суммы: $E_{B_1 D_1} = \sqrt{E_{B_1}^2 + E_{D_1}^2 + 2E_{B_1} E_{D_1} \cos\theta} = E_{B_1}\sqrt{2(1+4/5)} = \frac{kq}{5a^2}\sqrt{18/5} = \frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}$. Направление этого вектора совпадает с $(1,1,-4)$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен по $(1,1,0)$. Угол $\alpha$ между $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_{B_1 D_1}$ равен $\cos\alpha = \frac{(1,1,0)\cdot(1,1,-4)}{\sqrt{2}\sqrt{18}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Модуль результирующего поля $E_{рез}^2 = E_A^2 + E_{B_1 D_1}^2 + 2E_A E_{B_1 D_1} \cos\alpha$:$E_{рез}^2 = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}\right)^2 + 2\left(\frac{kq}{a^2}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}kq}{25a^2}\right)\frac{1}{3} = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(1 + \frac{90}{625} + \frac{2\sqrt{10}}{25}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(\frac{143+10\sqrt{10}}{125}\right)$.

Ответ: $E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{143+10\sqrt{10}}{125}}$.

в) в центре грани $A_1B_1C_1D_1$

Центр грани $P_c$ имеет координаты $(a/2, a/2, 2a)$.

1. Поля от зарядов $q$ в $B_1(a,0,2a)$ и $q$ в $D_1(0,a,2a)$. Точка $P_c$ равноудалена от $B_1$ и $D_1$. Векторы $\vec{r}_{B_1 P_c} = (-a/2, a/2, 0)$ и $\vec{r}_{D_1 P_c} = (a/2, -a/2, 0)$. Векторы напряженности $\vec{E}_{B_1}$ и $\vec{E}_{D_1}$ равны по модулю и противоположны по направлению, так что их сумма равна нулю: $\vec{E}_{B_1} + \vec{E}_{D_1} = \vec{0}$.

2. Таким образом, результирующее поле создается только зарядом $2q$ в точке $A(0,0,0)$.Расстояние $r_{AP_c} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + 4a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}}$.

3. Модуль результирующего поля:$E_{рез} = E_A = k \frac{2q}{r_{AP_c}^2} = k \frac{2q}{(9a^2/2)} = \frac{4kq}{9a^2}$.

Ответ: $E = \frac{4kq}{9a^2}$.

г) в центре грани $ABCD$

Центр грани $P_d$ имеет координаты $(a/2, a/2, 0)$.

1. Поле от заряда $2q$ в $A(0,0,0)$. Расстояние $r_{AP_d} = \sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2} = a/\sqrt{2}$. Модуль поля $E_A = k \frac{2q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{4kq}{a^2}$. Вектор $\vec{E}_A$ направлен в плоскости $xy$ по диагонали.

2. Поля от зарядов $q$ в $B_1$ и $D_1$. Расстояния до точки $P_d$ одинаковы: $r_{B_1 P_d} = r_{D_1 P_d} = \sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2+(-2a)^2} = \frac{3a}{\sqrt{2}}$. Суммарный вектор напряженности $\vec{E}_{B_1 D_1}$ от этих двух зарядов из соображений симметрии будет направлен вертикально вниз (против оси $z$). Его модуль можно рассчитать: $E_{B_1 D_1} = \frac{8\sqrt{2}kq}{27a^2}$.

3. Векторы $\vec{E}_A$ и $\vec{E}_{B_1 D_1}$ ортогональны, так как $\vec{E}_A$ лежит в плоскости $xy$, а $\vec{E}_{B_1 D_1}$ направлен вдоль оси $z$. Модуль результирующего поля найдем по теореме Пифагора:$E_{рез}^2 = E_A^2 + E_{B_1 D_1}^2 = \left(\frac{4kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{2}kq}{27a^2}\right)^2 = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(16 + \frac{128}{729}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \left(\frac{11664 + 128}{729}\right) = \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 \frac{11792}{729}$.$E_{рез} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{\frac{11792}{729}} = \frac{kq}{a^2} \frac{\sqrt{16 \cdot 737}}{27} = \frac{4kq\sqrt{737}}{27a^2}$.

Ответ: $E = \frac{4kq\sqrt{737}}{27a^2}$.

628. В тетраэдре ABCD точка K — середина медианы ВВ₁ грани BCD. Разложите вектор AK по векторам a = AB, b = AC, c = AD.

Для того чтобы разложить вектор $\vec{AK}$ по векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, мы выразим его через векторы, выходящие из вершины $A$.

По условию, точка $K$ является серединой отрезка $BB_1$. Используя формулу для вектора, соединяющего вершину с серединой отрезка, можно записать вектор $\vec{AK}$ как полусумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$:$\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB_1})$

Далее, $BB_1$ — это медиана грани $BCD$, проведенная из вершины $B$. Это означает, что точка $B_1$ является серединой стороны $CD$. Аналогично предыдущему шагу, выразим вектор $\vec{AB_1}$ как полусумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:$\vec{AB_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$

Теперь подставим полученное выражение для вектора $\vec{AB_1}$ в первое равенство:$\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}))$

Раскроем скобки, чтобы получить разложение по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{AD}$

Согласно условию задачи, $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AD}$. Заменим векторы на их обозначения:$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

Ответ: $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

629. На трёх некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA₁ построен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов (правило многоугольника и правило разности векторов). Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построен на трёх некомпланарных векторах $\vec{p} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{q} = \overrightarrow{AD}$ и $\vec{r} = \overrightarrow{AA_1}$. Это означает, что эти векторы являются рёбрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины $A$.

В силу свойств параллелепипеда, векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{D_1C_1} = \vec{p}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{B_1C_1} = \vec{q}$

$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \vec{r}$

Главными диагоналями параллелепипеда являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$. Найдём векторы, соответствующие этим диагоналям.

Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда, выходящей из той же вершины, что и базисные векторы. По правилу параллелепипеда, этот вектор равен сумме трёх векторов, на которых построен параллелепипед.

$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$

Подставляя данные значения, получаем:

$\overrightarrow{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$.

Чтобы найти вектор $\overrightarrow{BD_1}$, можно представить его как сумму векторов по рёбрам, например, по пути $B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow D_1$.

$\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1}$

Так как $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{p}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{q}$ и $\overrightarrow{DD_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{BD_1} = -\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{BD_1} = -\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$.

Представим вектор $\overrightarrow{CA_1}$ как сумму векторов по пути $C \rightarrow D \rightarrow A \rightarrow A_1$.

$\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1}$

Так как $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\vec{p}$, $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{q}$ и $\overrightarrow{AA_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{CA_1} = -\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{CA_1} = -\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$.

Представим вектор $\overrightarrow{DB_1}$ как сумму векторов по пути $D \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow B_1$.

$\overrightarrow{DB_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}$

Так как $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{q}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{p}$ и $\overrightarrow{BB_1} = \vec{r}$, получаем:

$\overrightarrow{DB_1} = -\vec{q} + \vec{p} + \vec{r} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$

Ответ: $\overrightarrow{DB_1} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r}$.

Примечание: В задаче требуется разложить векторы, образованные диагоналями. Для каждой диагонали существует два противоположно направленных вектора (например, $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{C_1A}$). Их разложения будут отличаться знаком: $\overrightarrow{C_1A} = -(\vec{p} + \vec{q} + \vec{r})$, $\overrightarrow{D_1B} = -(-\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = \vec{p} - \vec{q} - \vec{r}$, и т.д. Приведенные выше решения являются одним из двух возможных вариантов для каждой диагонали.